Сферические функции. Пальцев Б.В. - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Воспользуемся теперь теоремой об устранимой особенности
для гармонической функции, согласно которой функция, гар-
моническая в проколотом шаре 0 < |x
0
− x| < R в R
3
и являю-
щаяся o
1
|x
0
− x|
при x → x
0
, имеет конечный предел в точке
x = x
0
и, будучи доопределённой в этой точке своим предель-
ным значением, становится гармонической уже во всём шаре
|x
0
− x| < R. В нашем случае V (x) гармонична в проколотом
шаре 0 < |x| < ∞ и, в силу ограниченности V (x) в окрестно-
сти нуля, V (x) = o
1
|x|
при x → ∞. Поэтому V (x) можно так
доопределить в точке x = 0, что она будет гармонической уже
во всём пространстве R
3
.
Далее заметим, что V (x) имеет на бесконечности рост не
выше степенного: в силу (27) и (28)
|V (x)| 6 M |x|
µ
+
∀x ∈ R
n
.
Применим здесь теорему Лиувилля для гармонических функ-
ций в R
3
и получим в результате, что V (x) представляет собой
многочлен переменных x
1
,x
2
,x
3
.
Теперь уже нетрудно показать, что число µ
+
в представле-
нии (27) является целым, обозначим его буквой l, а V (x) пред-
ставляет собой однородный многочлен степени l. Для этого
воспользуемс я следующим утверждением.
Предложение 1. Пусть v(t) — многочлен одной действи-
тельной переменной t и известно, что v(t) = bt
µ
, b 6= 0, ∀t > 0.
Тогда µ = l, l > 0 — целое.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как многочлен v(t) 6≡ 0, то
v(t) =
P
l
k=0
a
k
t
k
, где l — целое и a
l
6= 0. Сравнивая эти два
19
   Воспользуемся теперь теоремой об устранимой особенности
для гармонической функции, согласно которой функция, гар-
моническая
        в проколотом
                       шаре 0 < |x0 − x| < R в R3 и являю-
              1
щаяся o               при x → x0 , имеет конечный предел в точке
          |x0 − x|
x = x0 и, будучи доопределённой в этой точке своим предель-
ным значением, становится гармонической уже во всём шаре
|x0 − x| < R. В нашем случае V (x) гармонична в проколотом
шаре 0 < |x| < ∞ и,
                   в силу ограниченности V (x) в окрестно-
                        1
сти нуля, V (x) = o |x| при x → ∞. Поэтому V (x) можно так
доопределить в точке x = 0, что она будет гармонической уже
во всём пространстве R3 .
  Далее заметим, что V (x) имеет на бесконечности рост не
выше степенного: в силу (27) и (28)

                     |V (x)| 6 M |x|µ+   ∀ x ∈ Rn .

Применим здесь теорему Лиувилля для гармонических функ-
ций в R3 и получим в результате, что V (x) представляет собой
многочлен переменных x1 ,x2 ,x3 .
   Теперь уже нетрудно показать, что число µ+ в представле-
нии (27) является целым, обозначим его буквой l, а V (x) пред-
ставляет собой однородный многочлен степени l. Для этого
воспользуемся следующим утверждением.

   Предложение 1. Пусть v(t) — многочлен одной действи-
тельной переменной t и известно, что v(t) = btµ , b 6= 0, ∀ t > 0.
   Тогда µ = l, l > 0 — целое.

       к а з а т е л ь с т в о. Так как многочлен v(t) 6≡ 0, то
    Д оP
v(t) = lk=0 ak tk , где l — целое и al =6 0. Сравнивая эти два


                                                               19

Страницы