Сферические функции. Пальцев Б.В. - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

оператора −∆
0
S
1
, то функция V (x), имеющая в сферической
системе координат выражение
b
V (ρ,θ,ϕ) = ρ
l
by(θ,ϕ), (24)
где by (θ,ϕ) — выражение в сферической системе на S
1
СФ y(x),
представляет собой однородный гармонический многочлен пе-
ременных x = (x
1
,x
2
,x
3
) степени l.
2
◦
. Обратно, если V (x) — ненулевой (V (x) 6≡ 0) однородный
гармонический многочлен в R
3
степени l, то его представле-
ние
b
V (ρ,θ,ϕ) в сферической системе имеет вид (24), где by(θ,ϕ)
— выражение в сферической системе на S
1
функции y(x) ∈
∈ C
∞
(S
1
), y(x) 6≡ 0, представляющей собой СФ оператора −
−∆
0
S
1
, отвечающую СЗ λ = l(l + 1).
Д о к а з а т е л ь с т в о. 1
◦
. Пусть λ > 0 — СЗ, y(x) ∈
∈ C
2
(S
1
) — отвечающая ему СФ оператора −∆
0
S
1
и by(θ,ϕ) —
выражение y(x) в сферической системе. Нетрудно видеть, что
функция V (x), представление которой в сферической системе
имеет вид
b
V (ρ,θ,ϕ) = R(ρ)by(θ,ϕ), (25)
где R(ρ) ∈ C
2
(0,∞), является дважды непрерывно дифферен-
цируемой функцией в R
3
\ {0}, т.е. V (x) ∈ C
2
(R
3
\ {0}) (отме-
тим, что это верно и для любой y(x) ∈ C
2
(S
1
)). Найдём вид
тех R(ρ), при которых функция (25), где y(x) — СФ оператора
−∆
0
S
1
, является гармонической в R
3
\ {0}, т.е. удовлетворяет
уравнению Лапласа в R
3
.
Подставляя (25) в уравнение Лапласа, записанное в сфе-
рической системе, используя (11) и то, что
b
∆
0
θ,ϕ
by(θ,ϕ) =
= −λby(θ,ϕ), приходим к уравнению
R
00
(ρ) +
2
ρ
R
0
(ρ) −
λ
ρ
2
R(ρ)
by(θ,ϕ) = 0.
Поскольку by(θ
0
,ϕ
0
) 6= 0 при некоторых θ
0
,ϕ
0
, отсюда получаем,
17
оператора −∆0S1 , то функция V (x), имеющая в сферической
системе координат выражение
                     Vb (ρ,θ,ϕ) = ρl yb(θ,ϕ),        (24)
где yb(θ,ϕ) — выражение в сферической системе на S1 СФ y(x),
представляет собой однородный гармонический многочлен пе-
ременных x = (x1 ,x2 ,x3 ) степени l.
   2◦ . Обратно, если V (x) — ненулевой (V (x) 6≡ 0) однородный
гармонический многочлен в R3 степени l, то его представле-
ние Vb (ρ,θ,ϕ) в сферической системе имеет вид (24), где yb(θ,ϕ)
— выражение в сферической системе на S1 функции y(x) ∈
∈ C ∞ (S1 ), y(x) 6≡ 0, представляющей собой СФ оператора −
−∆0S1 , отвечающую СЗ λ = l(l + 1).
   Д о к а з а т е л ь с т в о. 1◦ . Пусть λ > 0 — СЗ, y(x) ∈
∈ C 2 (S1 ) — отвечающая ему СФ оператора −∆0S1 и yb(θ,ϕ) —
выражение y(x) в сферической системе. Нетрудно видеть, что
функция V (x), представление которой в сферической системе
имеет вид
                      Vb (ρ,θ,ϕ) = R(ρ)by (θ,ϕ),            (25)
               2
где R(ρ) ∈ C (0,∞), является дважды непрерывно дифферен-
цируемой функцией в R3 \ {0}, т.е. V (x) ∈ C 2 (R3 \ {0}) (отме-
тим, что это верно и для любой y(x) ∈ C 2 (S1 )). Найдём вид
тех R(ρ), при которых функция (25), где y(x) — СФ оператора
−∆0S1 , является гармонической в R3 \ {0}, т.е. удовлетворяет
уравнению Лапласа в R3 .
   Подставляя (25) в уравнение Лапласа, записанное в сфе-
рической системе, используя (11) и то, что ∆      b 0 yb(θ,ϕ) =
                                                    θ,ϕ
= −λb y (θ,ϕ), приходим к уравнению
                                          
                 00      2 0         λ
                R (ρ) + R (ρ) − 2 R(ρ) yb(θ,ϕ) = 0.
                         ρ          ρ
Поскольку yb(θ0 ,ϕ0 ) 6= 0 при некоторых θ0 ,ϕ0 , отсюда получаем,


                                                               17

Страницы