Сферические функции. Пальцев Б.В. - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

равенства, приходим к выражению
(−∆
0
S
1
u,v)
S
1
=
Z
2π
0
Z
π
0
∂bu
∂θ
·
∂bv
∂θ
+
1
sin θ
∂bu
∂ϕ
·
1
sin θ
∂bv
∂ϕ
!
sin θ dθ dϕ =
=
Z
S
1
(∇
S
1
u,∇
S
1
v) ds, (21)
где вектор ∇
S
1
u лежит в касательной плоскости к S
1
(в каждой
точке S
1
) и представляет собой градиент функции u (заданной
на S
1
) вдоль сферы S
1
: координаты вектора ∇
S
1
u в сфериче-
ской системе суть
0,
∂bu
∂θ
,
1
sin θ
∂bu
∂ϕ
.
Из формулы (21) вытекает сразу неотрицательность опера-
тора −∆
0
S
1
:
(−∆
0
S
1
u,u)
S
1
=
Z
S
1
|∇
S
1
u|
2
ds > 0. (22)
Из этой же формулы (21) легко получаем и симметричность
оператора −∆
0
S
1
. А именно, меняя местами функции u и v в
(21) и переходя к комплексному сопряжению, получаем
(u, −∆
0
S
1
v)
S
1
= (−∆
0
S
1
v,u)
S
1
=
Z
S
1
(−∇
S
1
v,∇
S
1
u)
S
1
ds =
=
Z
S
1
(∇
S
1
u,∇
S
1
v) ds = (−∆
0
S
1
u,v)
S
1
.
Итак, лемма 1 установлена.
У п р а ж н е н и е 1. Пользуясь равенством в (22), устано-
вить, что всякая гармоническая на сфере S
1
функция u(x), т.е.
функция u(x) ∈ C
2
(S
1
), удовлетворяющая на S
1
однородному
уравнению Лапласа–Бельтрами ∆
0
S
1
u(x) = 0 ∀x ∈ S
1
, является
постоянной на S
1
.
Как и в алгебре (а также для оператора Лапласа в ограни-
ченной области с однородным граничным условием Дирихле),
15
равенства, приходим к выражению
               Z 2π
                  Z π                          !
                      ∂bu   ∂b
                             v     1 ∂b
                                      u   1 ∂b
                                             v
(−∆0S1 u,v)S1 =           ·    +        ·        sin θ dθ dϕ =
                0 0   ∂θ ∂θ sin θ ∂ϕ sin θ ∂ϕ
                Z
              =    (∇S1 u,∇S1 v) ds,                       (21)
                S1
где вектор ∇S1 u лежит в касательной плоскости к S1 (в каждой
точке S1 ) и представляет собой градиент функции u (заданной
на S1 ) вдоль сферы                вектора ∇S1 u в сфериче-
                    S1 : координаты
                      ∂b
                       u    1   ∂b
                                 u
ской системе суть 0, ∂θ , sin θ ∂ϕ .
   Из формулы (21) вытекает сразу неотрицательность опера-
тора −∆0S1 :
                              Z
              (−∆0S1 u,u)S1 =     |∇S1 u|2 ds > 0.    (22)
                                S1
   Из этой же формулы (21) легко получаем и симметричность
оператора −∆0S1 . А именно, меняя местами функции u и v в
(21) и переходя к комплексному сопряжению, получаем
                                      Z
    (u, − ∆0S1 v)S1 = (−∆0S1 v,u)S1 =     (−∇S1 v,∇S1 u)S1 ds =
                                       S1
                  Z
               =     (∇S1 u,∇S1 v) ds = (−∆0S1 u,v)S1 .
                S1
   Итак, лемма 1 установлена.
   У п р а ж н е н и е 1. Пользуясь равенством в (22), устано-
вить, что всякая гармоническая на сфере S1 функция u(x), т.е.
функция u(x) ∈ C 2 (S1 ), удовлетворяющая на S1 однородному
уравнению Лапласа–Бельтрами ∆0S1 u(x) = 0 ∀ x ∈ S1 , является
постоянной на S1 .
   Как и в алгебре (а также для оператора Лапласа в ограни-
ченной области с однородным граничным условием Дирихле),


                                                            15

Страницы