Сферические функции. Пальцев Б.В. - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

принадлежат C
1
([0,π] × [0,2π]). Отсюда будет следовать, что
и
∂
∂θ
sin θ
∂bu(θ,ϕ)
∂θ
,
1
sin θ
∂
2
bu(θ,ϕ)
∂ϕ
2
∈ C([0,π] × [0,2π]).
В силу сделанного выше замечания 1 функция bu(θ,ϕ) ∈
∈ C
2
((0,π) × [0,2π]), а потому
∂bu
∂θ
(θ,ϕ),
1
sin θ
∂bu
∂ϕ
∈ C
1
((0,π) × [0,2π]).
Поэтому остаётся показать, например, что функции (19) при-
надлежат пространствам
C
1
h
0,
π
6
i
× [0,2π]
и C
1
h
π −
π
6
,π
i
× [0,2π]
.
Проверим, например, первое. В силу определения 1 функ-
ция
˜u(x
1
,x
2
)
def
= u(x
1
,x
2
,
√
1 − x
1
− x
2
) ∈ C
2
q
x
2
1
+ x
2
2
6
1
2
.
π
6
x
1
x
2
x
3
O
Рис. 3
При этом u(x
1
,x
2
,x
3
)|
x∈S
1
=
= ˜u(x
1
,x
2
) в окрестности верх-
него полюса сферы S
1
, описы-
ваемой в сферической системе
неравенством θ 6
π
6
. Поэтому
имеет место равенство
bu(θ,ϕ) = ˜u(sin θ cos ϕ, sin θ sin ϕ),
(20)
и эта функция принадлежит
C
2
h
0,
π
6
i
× [0,2π]
как супер-
позиция функций соответству-
ющей гладкости. Отсюда сле-
13
принадлежат C 1 ([0,π] × [0,2π]). Отсюда будет следовать, что
и
                             1 ∂2u
                      
     ∂         ∂b
                u(θ,ϕ)            b(θ,ϕ)
         sin θ           ,               ∈ C([0,π] × [0,2π]).
    ∂θ           ∂θ        sin θ ∂ϕ2
                                              b(θ,ϕ) ∈
   В силу сделанного выше замечания 1 функция u
∈ C 2 ((0,π) × [0,2π]), а потому
            ∂b
             u            1 ∂b u
               (θ,ϕ),            ∈ C 1 ((0,π) × [0,2π]).
            ∂θ          sin θ ∂ϕ
Поэтому остаётся показать, например, что функции (19) при-
надлежат пространствам
          h π i                       h      π i          
      C 1 0,       × [0,2π]     и C 1 π − ,π × [0,2π] .
                6                               6
    Проверим, например, первое. В силу определения 1 функ-
ция
                           √
                                                q              
               def                            2     2    2    1
   ũ(x1 ,x2 ) = u(x1 ,x2 , 1 − x1 − x2 ) ∈ C      x1 + x2 6      .
                                                              2

           x3                       При этом u(x1 ,x2 ,x3 )|x∈S1 =
                                 = ũ(x1 ,x2 ) в окрестности верх-
                                 него полюса сферы S1 , описы-
                π                ваемой в сферической системе
                6
                                                        π
                                 неравенством θ 6 6 . Поэтому
                O           x2   имеет место равенство

      x1                         u
                                 b(θ,ϕ) = ũ(sin θ cos ϕ, sin θ sin ϕ),
                                                                  (20)
                                 и эта
                                    h функция       принадлежит
                                          π
                                          i           
                                 C 2 0, 6 × [0,2π] как супер-
           Рис. 3                позиция функций соответству-
                                 ющей гладкости. Отсюда сле-


                                                                    13

Страницы