Сферические функции. Пальцев Б.В. - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Хотя выражение оператора
b
∆
0
θ,ϕ
оператора Лапласа–
Бельтрами
b
∆
0
S
1
в сферической системе и зависит от углов θ
и ϕ, а
b
∆
0
θ,ϕ
имеет особенности при θ = 0 и θ = π (sin θ, по-
являющийся в знаменателе, обращается в нуль в этих точках),
сам оператор
b
∆
0
S
1
во всех точках сферы S
1
устроен совершенно
одинаково. Если мы перейдём к другой сферической системе,
связанной с другой декартовой системой ˜x (например, с осью
O˜x
3
, направленной по старой оси Ox
1
), то
b
∆
0
e
θ, eϕ
уже не будет
иметь особенностей в старых полюсах сферы (0,0, ± 1), соот-
ветствующих θ = 0 и θ = π.
Эту “одинаковую устроенность” оператора
b
∆
0
S
1
во всех точ-
ках S
1
можно легко уяснить также из формулы
∆ =
1
ρ
2
∂
∂ρ
ρ
2
∂
∂ρ
+
1
ρ
2
b
∆
0
S
1
.
Оператор Лапласа ∆ инвариантен (не изменяет своей фор-
мулы) относительно вращений (т.е. при переходе к другой
ортогональной системе ˜x с центром в начале координат), опе-
ратор
1
ρ
2
∂
∂ρ
ρ
2
∂
∂ρ
содержит дифференцирования только по
радиусу и очевидно инвариантен относительно вращений. От-
сюда и оператор
1
ρ
2
∆
0
S
1
, а с ним и оператор ∆
0
S
1
инвариантен
относительно вращений.
Нетрудно установить (проверьте сами), что оператор ∆
0
S
1
отображает пространство C
k
(S
1
), k > 2, в пространство
C
k−2
(S
1
).
Имеет место следующее утверждение.
Лемма 1. Оператор −∆
0
S
1
симметричен и неотрицателен
на пространстве C
2
(S
1
) относительно скалярного произведе-
11
   Хотя выражение оператора ∆  b0
                                 θ,ϕ оператора Лапласа–
             0
Бельтрами ∆S1 в сферической системе и зависит от углов θ
           b
       b 0 имеет особенности при θ = 0 и θ = π (sin θ, по-
и ϕ, а ∆  θ,ϕ
являющийся в знаменателе, обращается в нуль в этих точках),
сам оператор ∆b 0 во всех точках сферы S1 устроен совершенно
                S1
одинаково. Если мы перейдём к другой сферической системе,
связанной с другой декартовой системой x̃ (например, с осью
                                            b 0 уже не будет
Ox̃3 , направленной по старой оси Ox1 ), то ∆
                                            θ,ϕ
                                              e
                                              e
иметь особенностей в старых полюсах сферы (0,0, ± 1), соот-
ветствующих θ = 0 и θ = π.
                                           b 0 во всех точ-
   Эту “одинаковую устроенность” оператора ∆      S1
ках S1 можно легко уяснить также из формулы
                                
                     1 ∂      ∂      1 b0
                ∆= 2       ρ2      + 2∆   .
                    ρ ∂ρ      ∂ρ    ρ S1

Оператор Лапласа ∆ инвариантен (не изменяет своей фор-
мулы) относительно вращений (т.е. при переходе к другой
ортогональной
            системе x̃ с центром в начале координат), опе-
        1 ∂      ∂
                
ратор         ρ2 ∂ρ   содержит дифференцирования только по
        ρ2 ∂ρ
радиусу и очевидно инвариантен относительно вращений. От-
                  1 0
сюда и оператор     ∆ , а с ним и оператор ∆0S1 инвариантен
                  ρ2 S1
относительно вращений.
    Нетрудно установить (проверьте сами), что оператор ∆0S1
отображает пространство C k (S1 ), k > 2, в пространство
C k−2 (S1 ).
   Имеет место следующее утверждение.

   Лемма 1. Оператор −∆0S1 симметричен и неотрицателен
на пространстве C 2 (S1 ) относительно скалярного произведе-


                                                         11

Страницы