Сферические функции. Пальцев Б.В. - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Итак, в сферической системе оператор Лапласа предста-
вляет собой сумму оператора 2-го порядка по радиальной пе-
ременной
1
ρ
2
∂
∂ρ
ρ
2
∂
∂ρ
и оператора 2-го порядка по угловым
переменным
b
∆
0
θ,ϕ
, поделённого на ρ
2
. Оператор
b
∆
0
θ,ϕ
называют
оператором Лапласа–Бельтрами на единичной сфере в R
3
.
§ 2. Оператор Лапласа–Бельтрами на сфере
и его свойства.
Сферические и шаровые функции
Обозначим через S
1
= {x : |x| = 1} — единичную сферу в
R
3
с центром в начале координат.
Определение 1. Через C
k
(S
1
), k > 0 — целое, обозначим
пространство функций k раз непрерывно дифференцируемых
на сфере S
1
.
ξ
1
ξ
2
ξ
3
O
x
0
S
1
Рис. 2
Это означает следующее. Для
любой точки x
0
=(x
0
1
,x
0
2
,x
0
3
) ∈ S
1
возь-
мём какую-нибудь декартову систему
ξ = (ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
) с началом в точке O, при-
чём такую, что ось Oξ
3
направлена по
вектору Ox
0
. При этом плоскость ξ
3
=
= 0 параллельна касательной плоско-
сти к S
1
в точке x
0
. Обозначим x=x(ξ)
(x
1
=x
1
(ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
), x
2
=x
2
(ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
),
x
3
=x
3
(ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
)) формулы перехода к
новой системе ξ и введём в рассмотрение функцию v
ξ
(ξ) =
= v(x(ξ)) — выражение функции v(x) в новой декартовой
системе ξ. Далее, уравнение в системе ξ куска S
1
, проходящего
через точку x
0
, будет ξ
3
=
p
1 − ξ
2
1
+ ξ
2
2
, |ξ
0
| =
p
ξ
2
1
+ ξ
2
2
< 1,
где ξ
0
= (ξ
1
,ξ
2
). Выразим v
ξ
(ξ) только через “касательные”
9
   Итак, в сферической системе оператор Лапласа предста-
вляет собой сумму
                оператора 2-го порядка по радиальной пе-
            1 ∂      ∂
                    
ременной          ρ2 ∂ρ     и оператора 2-го порядка по угловым
            ρ2 ∂ρ
переменным ∆b 0 , поделённого на ρ2 . Оператор ∆
                                               b 0 называют
              θ,ϕ                                θ,ϕ
оператором Лапласа–Бельтрами на единичной сфере в R3 .

     § 2. Оператор Лапласа–Бельтрами на сфере
                   и его свойства.
           Сферические и шаровые функции
   Обозначим через S1 = {x : |x| = 1} — единичную сферу в
R3 с центром в начале координат.
   Определение 1. Через C k (S1 ), k > 0 — целое, обозначим
пространство функций k раз непрерывно дифференцируемых
на сфере S1 .

                  ξ3         Это означает следующее.                Для
                         любой точки x0 =(x01 ,x02 ,x03 ) ∈ S1 возь-
                   x0    мём какую-нибудь декартову систему
                         ξ = (ξ1 ,ξ2 ,ξ3 ) с началом в точке O, при-
         O               чём такую, что ось Oξ3 направлена по
                         вектору Ox0 . При этом плоскость ξ3 =
                      ξ2
                         = 0 параллельна касательной плоско-
          ξ1          S1 сти к S1 в точке x0 . Обозначим x=x(ξ)
                         (x1 =x1 (ξ1 ,ξ2 ,ξ3 ),      x2 =x2 (ξ1 ,ξ2 ,ξ3 ),
        Рис. 2
                         x3 =x3 (ξ1 ,ξ2 ,ξ3 )) формулы перехода к
новой системе ξ и введём в рассмотрение функцию v ξ (ξ) =
= v(x(ξ)) — выражение функции v(x) в новой декартовой
системе ξ. Далее, уравнение p в системе ξ куска S1p   , проходящего
                0                                 0
через точку x , будет ξ3 = 1 − ξ1 + ξ2 , |ξ | = ξ12 + ξ22 < 1,
                                        2      2

где ξ 0 = (ξ1 ,ξ2 ). Выразим v ξ (ξ) только через “касательные”


                                                                        9

Страницы