Сферические функции. Пальцев Б.В. - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

матрице является транспонированная к ней, получаем
c
∂u
∂x
1
=
∂bu
∂ρ
sin θ cos ϕ +
1
ρ
∂bu
∂θ
cos θ cos ϕ −
1
ρ sin θ
∂bu
∂ϕ
sin ϕ,
c
∂u
∂x
2
=
∂bu
∂ρ
sin θ sin ϕ +
1
ρ
∂bu
∂θ
cos θ sin ϕ +
1
ρ sin θ
∂bu
∂ϕ
cos ϕ,
c
∂u
∂x
3
=
∂bu
∂ρ
cos θ −
1
ρ
∂bu
∂θ
sin θ.
Используя эти выражения, мы получаем (выполняя на послед-
ней стадии суммирование по столбцам и тождественные пре-
образования)
\
div
→
F =
[
∂F
1
∂x
1
+
[
∂F
2
∂x
2
+
[
∂F
3
∂x
3
=
=
∂
b
F
1
∂ρ
sin θ cos ϕ +
1
ρ
∂
b
F
1
∂θ
cos θ cos ϕ −
1
ρ sin θ
∂
b
F
1
∂ϕ
sin ϕ +
+
∂
b
F
2
∂ρ
sin θ sin ϕ +
1
ρ
∂
b
F
2
∂θ
cos θ sin ϕ +
1
ρ sin θ
∂
b
F
2
∂ϕ
cos ϕ+
+
∂
b
F
3
∂ρ
cos θ −
1
ρ
∂
b
F
3
∂θ
sin θ =
=
∂
∂ρ
b
F
1
sin θ cos ϕ +
b
F
2
sin θ sin ϕ +
b
F
3
cos θ
+
+
1
ρ
∂
∂θ
b
F
1
cos θ cos ϕ +
b
F
2
cos θ sin ϕ −
b
F
3
sin θ
+
+
1
ρ
b
F
1
sin θ cos ϕ +
b
F
2
sin θ sin ϕ +
b
F
3
cos θ
+
+
1
ρ sin θ
∂
∂ϕ
−
b
F
1
sin ϕ +
b
F
2
cos ϕ
+
+
1
ρ sin θ
b
F
1
cos ϕ +
b
F
2
sin ϕ
=
7
матрице является транспонированная к ней, получаем
     ∂u
      c    ∂b
            u               1 ∂bu                    1 ∂b u
         =    sin θ cos ϕ +        cos θ cos ϕ −             sin ϕ,
     ∂x1   ∂ρ               ρ ∂θ                 ρ sin θ ∂ϕ
     ∂u
      c    ∂b
            u               1 ∂b
                               u                    1 ∂b  u
         =    sin θ sin ϕ +       cos θ sin ϕ +             cos ϕ,
     ∂x2   ∂ρ               ρ ∂θ                 ρ sin θ ∂ϕ
     ∂u
      c    ∂b
            u          1 ∂b
                          u
         =    cos θ −       sin θ.
     ∂x3   ∂ρ          ρ ∂θ
Используя эти выражения, мы получаем (выполняя на послед-
ней стадии суммирование по столбцам и тождественные пре-
образования)

\   →   ∂F 1 [
        [         ∂F 2 [   ∂F 3
div F =        +        +         =
        ∂x1        ∂x2     ∂x3
        ∂ Fb1                  1 ∂ Fb1                  1 ∂ Fb1
      =        sin θ cos ϕ +           cos θ cos ϕ −             sin ϕ +
         ∂ρ                    ρ ∂θ                  ρ sin θ ∂ϕ
           ∂ Fb2                1 ∂ Fb2                  1 ∂ Fb2
        +        sin θ sin ϕ +          cos θ sin ϕ +             cos ϕ+
            ∂ρ                  ρ ∂θ                  ρ sin θ ∂ϕ
           ∂ Fb3          1 ∂ Fb3
        +        cos θ −           sin θ =
            ∂ρ            ρ ∂θ
        ∂  b1                                               
      =        F sin θ cos ϕ + Fb2 sin θ sin ϕ + Fb3 cos θ +
        ∂ρ
           1 ∂  b1                                             
        +          F cos θ cos ϕ + Fb2 cos θ sin ϕ − Fb3 sin θ +
           ρ ∂θ
           1                                                
        + Fb1 sin θ cos ϕ + Fb2 sin θ sin ϕ + Fb3 cos θ +
           ρ
              1     ∂  b1                        
        +                −F sin ϕ + Fb2 cos ϕ +
           ρ sin θ ∂ϕ
              1  b1                        
        +            F cos ϕ + Fb2 sin ϕ =
           ρ sin θ

                                                                       7

Страницы