Сферические функции. Пальцев Б.В. - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

=
∂F
ρ
∂ρ
+
1
ρ
∂F
θ
∂θ
+
F
ρ
ρ
+
1
ρ sin θ
∂F
ϕ
∂ϕ
+
+
1
ρ sin θ
b
F
1
cos ϕ +
b
F
2
sin ϕ
.
Остаётся последнее слагаемое здесь выразить через F
ρ
, F
θ
и F
ϕ
. Для этого обратимся к соотношениям (7). Умножим пер-
вое из них на sin θ, второе — на cos θ, сложим их. В результате
получим
b
F
1
cos ϕ +
b
F
2
sin ϕ = F
ρ
sin θ + F
θ
cos θ.
Используя это соотношение, окончательно получаем
\
div
→
F =
∂F
ρ
∂ρ
+
2
ρ
F
ρ
+
1
ρ
∂F
θ
∂θ
+
1
ρ
ctg θF
θ
+
1
ρ sin θ
∂F
ϕ
∂ϕ
=
=
1
ρ
2
∂
∂ρ
(ρ
2
F
ρ
) +
1
ρ sin θ
∂
∂θ
(sin θF
θ
) +
∂F
ϕ
∂ϕ
. (10)
Это и есть выражение дивергенции векторного поля
→
F в
сферической системе координат.
4
◦
. Теперь уже легко выписать выражение оператора Ла-
пласа в сферической системе. Используя (10), тождество
c
∆u =
=
\
div(∇u) и (9), находим
c
∆u =
1
ρ
2
∂
∂ρ
ρ
2
(∇u)
ρ
+
1
ρ sin θ
∂
∂θ
sin θ(∇u)
θ
+
∂
∂ϕ
(∇u)
ϕ
=
=
1
ρ
2
∂
∂ρ
ρ
2
∂bu
∂ρ
+
1
ρ
2
1
sin θ
∂
∂θ
sin θ
∂bu
∂θ
+
1
sin
2
θ
∂
2
bu
∂ϕ
2
=
=
1
ρ
2
∂
∂ρ
ρ
2
∂bu
∂ρ
+
1
ρ
2
b
∆
0
θ,ϕ
bu, (11)
где мы обозначили
b
∆
0
θ,ϕ
bu =
1
sin θ
∂
∂θ
sin θ
∂bu
∂θ
+
1
sin
2
θ
∂
2
bu
∂ϕ
2
. (12)
8
            ∂F ρ 1 ∂F θ      Fρ        1 ∂F ϕ
        =         +       +     +             +
             ∂ρ      ρ ∂θ     ρ    ρ sin θ ∂ϕ
                 1  b1                   
            +          F cos ϕ + Fb2 sin ϕ .
              ρ sin θ
    Остаётся последнее слагаемое здесь выразить через F ρ , F θ
и F ϕ . Для этого обратимся к соотношениям (7). Умножим пер-
вое из них на sin θ, второе — на cos θ, сложим их. В результате
получим
             Fb1 cos ϕ + Fb2 sin ϕ = F ρ sin θ + F θ cos θ.
Используя это соотношение, окончательно получаем
    \   →   ∂F ρ 2 ρ 1 ∂F θ     1              1 ∂F ϕ
    div F =     + F +         + ctg θF θ +             =
             ∂ρ  ρ     ρ ∂θ     ρ           ρ sin θ ∂ϕ
                                              ∂F ϕ
                                                  
            1 ∂ 2 ρ       1     ∂        θ
          = 2 (ρ F ) +            (sin θF ) +        .  (10)
            ρ ∂ρ       ρ sin θ ∂θ              ∂ϕ
                                                                       →
   Это и есть выражение дивергенции векторного поля F в
сферической системе координат.
   4◦ . Теперь уже легко выписать выражение оператора Ла-
пласа в сферической системе. Используя (10), тождество ∆u             c =
    \ и (9), находим
= div(∇u)
                                                                     
        1 ∂ 2          ρ
                              1       ∂               θ
                                                          ∂
                                                                     ϕ
∆u = 2
 c            ρ (∇u) +                     sin θ(∇u) + (∇u) =
        ρ ∂ρ                ρ sin θ ∂θ                      ∂ϕ
                                                              1 ∂2u
                                                                  
        1 ∂         ∂b
                     u      1      1 ∂             ∂b
                                                    u
                ρ2
                                                                     b
    = 2                  + 2                 sin θ        +              =
        ρ ∂ρ        ∂ρ      ρ sin θ ∂θ             ∂θ       sin2 θ ∂ϕ2
                      
        1 ∂       2 ∂b
                     u      1 b0
    = 2         ρ        + 2∆       u
                                    b,                                  (11)
        ρ ∂ρ        ∂ρ      ρ θ,ϕ
где мы обозначили
                                                    1 ∂2u
                                           
              0          1 ∂             ∂b
                                          u                 b
           ∆θ,ϕ u
            b     b=              sin θ        +     2        .         (12)
                       sin θ ∂θ          ∂θ       sin θ ∂ϕ2

8

Страницы