Сферические функции. Пальцев Б.В. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

координаты ξ
0
(являющиеся касательными координатами
этого куска S
1
) и получим функцию
˜v
ξ
def
= v
ξ
(ξ
1
,ξ
2
,
p
1 − |ξ
0
|
2
). (13)
Так вот, по определению функция v(x) ∈ C
k
(S
1
), если
для любой x
0
∈ S
1
и для любой декартовой системы ξ =
= (ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
), описанной выше, функция (13) принадлежит про-
странству C
k
|ξ
0
| 6
1
2
. Аналогичным образом определяется
пространство C
k
(S
ρ
) на сфере S
ρ
радиуса ρ.
З а м е ч а н и е 1. Можно показать, что это определение
эквивалентно также следующему. Функция v(x) принадлежит
пространству C
k
(S
1
) тогда и только тогда, когда для любой
декартовой системы координат ˜x = (˜x
1
,˜x
2
,˜x
3
) с центром в на-
чале координат функция
bv(
˜
θ, ˜ϕ) = v(sin
˜
θ cos ˜ϕ, sin
˜
θ sin ˜ϕ, cos
˜
θ), (14)
где
˜
θ и ˜ϕ — углы в сферической системе, связанной с декарто-
вой системой ˜x, принадлежит пространству C
k
((0,π) × [0,2π]).
Определение 2. Оператор Лапласа–Бельтрами ∆
0
S
1
на
единичной сфере S
1
определим как оператор, переводящий вся-
кую функцию v(x) ∈ C
2
(S
1
) в функцию ∆
0
S
1
v(x) ∈ C(S
1
), вы-
ражение которой в сферических координатах даётся формулой
[
∆
0
S
1
v(θ,ϕ) =
b
∆
0
θ,ϕ
bv(θ,ϕ), (15)
где bv(θ,ϕ) определяется по формуле (14), только без “тильд”,
b
∆
0
θ,ϕ
— дифф е ренциальный оператор 2-го порядка, определяе-
мый формулой (12).
Здесь мы встречаемся по сути дела с определениями про-
странств гладких функций на гладком многообразии (в данном
случае — на сфере S
1
) и дифференциального оператора на та-
ком многообразии.
10
координаты ξ 0 (являющиеся касательными координатами
этого куска S1 ) и получим функцию
                            def            p
                       ṽ ξ = v ξ (ξ1 ,ξ2 , 1 − |ξ 0 |2 ).   (13)
   Так вот, по определению функция v(x) ∈ C k (S1 ), если
для любой x0 ∈ S1 и для любой декартовой системы ξ =
= (ξ1 ,ξ2 ,ξ3 ), описанной   выше, функция (13) принадлежит про-
                         1
                   
странству C k |ξ 0 | 6 2 . Аналогичным образом определяется
пространство C k (Sρ ) на сфере Sρ радиуса ρ.
   З а м е ч а н и е 1. Можно показать, что это определение
эквивалентно также следующему. Функция v(x) принадлежит
пространству C k (S1 ) тогда и только тогда, когда для любой
декартовой системы координат x̃ = (x̃1 ,x̃2 ,x̃3 ) с центром в на-
чале координат функция
             vb(θ̃,ϕ̃) = v(sin θ̃ cos ϕ̃, sin θ̃ sin ϕ̃, cos θ̃),   (14)
где θ̃ и ϕ̃ — углы в сферической системе, связанной с декарто-
вой системой x̃, принадлежит пространству C k ((0,π) × [0,2π]).
   Определение 2. Оператор Лапласа–Бельтрами ∆0S1 на
единичной сфере S1 определим как оператор, переводящий вся-
кую функцию v(x) ∈ C 2 (S1 ) в функцию ∆0S1 v(x) ∈ C(S1 ), вы-
ражение которой в сферических координатах даётся формулой
                  ∆[0 v(θ,ϕ) = ∆b 0 vb(θ,ϕ),              (15)
                        S1                θ,ϕ
где vb(θ,ϕ) определяется по формуле (14), только без “тильд”,
b 0 — дифференциальный оператор 2-го порядка, определяе-
∆ θ,ϕ
мый формулой (12).
   Здесь мы встречаемся по сути дела с определениями про-
странств гладких функций на гладком многообразии (в данном
случае — на сфере S1 ) и дифференциального оператора на та-
ком многообразии.


10

Страницы