Сферические функции. Пальцев Б.В. - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

ния в L
2
(S
1
):
(u,v)
S
1
=
Z
S
1
u(x)v(x) ds =
Z
π
0
bu(θ,ϕ)bv(θ,ϕ) sin θ dθ dϕ, (16)
а именно, ∀u,v ∈ C
2
(S
1
)
(−∆
0
S
1
u,v)
S
1
= (u, − ∆
0
S
1
v)
S
1
,
(−∆
0
S
1
u,u)
S
1
> 0. (17)
Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу определения оператора ∆
0
S
1
для любых u,v ∈ C
2
(S
1
) имеем
(−∆
0
S
1
u,v) = −
Z
π
0
Z
2π
0
[
∆
0
S
1
u(θ,ϕ)bv(θ,ϕ) sin θ dθ dϕ =
= −
Z
π
0
Z
2π
0
b
∆
0
θ,ϕ
bu(θ,ϕ)bv(θ,ϕ) sin θ dθ dϕ =
= −
Z
2π
0
dϕ
Z
π
0
∂
∂θ
sin θ
∂bu(θ,ϕ)
∂θ
bv(θ,ϕ) dθ −
−
Z
π
0
dθ
Z
2π
0
1
sin θ
∂
2
bu(θ,ϕ)
∂ϕ
2
bv(θ,ϕ) dϕ. (18)
Покажем, что все функции, которые стоят под знаками ин-
тегралов в последнем выражении, на самом деле не имеют осо-
бенностей и принадлежат пространству C([0,π] × [0,2π]) как
функции θ и ϕ. В самом деле, например,
bv(θ,ϕ) = v(sin θ cos ϕ, sin θ sin ϕ, cos ϕ) ∈ C([0,π] × [0,2π])
как суперпозиция непрерывных функций. Аналогично для
bu(θ,ϕ).
Проверим далее, что функции
∂bu
∂θ
(θ,ϕ) и
1
sin θ
∂bu
∂ϕ
(θ,ϕ) (19)
12
ния в L2 (S1 ):
              Z                       Z   π
  (u,v)S1 =          u(x)v(x) ds =            u
                                              b(θ,ϕ)b
                                                    v (θ,ϕ) sin θ dθ dϕ,   (16)
                S1                    0

а именно, ∀ u,v ∈ C 2 (S1 )
                     (−∆0S1 u,v)S1 = (u, − ∆0S1 v)S1 ,
                     (−∆0S1 u,u)S1 > 0.                                    (17)

   Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу определения оператора ∆0S1
для любых u,v ∈ C 2 (S1 ) имеем
                    Z π Z 2π
       0                        [ 0 u(θ,ϕ)b
  (−∆S1 u,v) = −                ∆ S1         v (θ,ϕ) sin θ dθ dϕ =
                      0    0
                    Z π Z 2π
               =−               b0 u
                                ∆ θ,ϕ b(θ,ϕ)b v (θ,ϕ) sin θ dθ dϕ =
                      0    0
                    Z 2π      Z π                        
                                     ∂           ∂b
                                                  u(θ,ϕ)
               =−          dϕ             sin θ              vb(θ,ϕ) dθ −
                      0         0 ∂θ               ∂θ
                        Z π Z 2π
                                         1 ∂2u  b(θ,ϕ)
                    −        dθ                         vb(θ,ϕ) dϕ.      (18)
                         0       0     sin θ ∂ϕ2
   Покажем, что все функции, которые стоят под знаками ин-
тегралов в последнем выражении, на самом деле не имеют осо-
бенностей и принадлежат пространству C([0,π] × [0,2π]) как
функции θ и ϕ. В самом деле, например,
     vb(θ,ϕ) = v(sin θ cos ϕ, sin θ sin ϕ, cos ϕ) ∈ C([0,π] × [0,2π])
как суперпозиция непрерывных функций.                       Аналогично для
u
b(θ,ϕ).
   Проверим далее, что функции
                      ∂b
                       u                    1 ∂b u
                         (θ,ϕ)    и                (θ,ϕ)                   (19)
                      ∂θ                  sin θ ∂ϕ

12

Страницы