Сферические функции. Пальцев Б.В. - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

дует утверждение относительно первой функции (19). Далее,
дифференцируя (20) по ϕ, имеем
1
sin θ
∂bu
∂ϕ
=
−
∂˜u
∂x
1
(sin θ cos ϕ, sin θ sin ϕ) sin ϕ+
+
∂˜u
∂x
1
(sin θ cos ϕ, sin θ sin ϕ) cos ϕ
∈ C
1
h
0,
π
6
i
× [0,2π]
,
опять же как линейная комбинация суперпозиций функций со-
ответствующей гладкости. (Отметим, что при θ 6
π
6
имеем
0 6
p
x
2
1
+ x
2
2
= sin θ 6
1
2
). Итак, необходимые утверждения
установлены.
Отсюда следует законность использованных расстановок
порядков интегрирования в последнем выражении (18). Далее,
интегрированием по частям встречающихся там внутренних
интегралов имеем
Z
π
0
∂
∂θ
sin θ
∂bu(θ,ϕ)
∂θ
bv(θ,ϕ) dθ = sin θ
∂bu(θ,ϕ)
∂θ
bv(θ,ϕ)
θ=π
θ=0
−
−
Z
π
0
sin θ
∂bu(θ,ϕ)
∂θ
·
∂bv(θ,ϕ)
∂θ
dθ = −
Z
π
0
∂bu
∂θ
·
∂bv
∂θ
sin θ dθ,
поскольку sin 0 = sin π = 0, а также
Z
2π
0
∂
2
bu(θ,ϕ)
∂ϕ
2
bv(θ,ϕ) dϕ =
∂bu(θ,ϕ)
∂ϕ
bv(θ,ϕ)
ϕ=2π
ϕ=0
−
−
Z
2π
0
∂bu(θ,ϕ)
∂ϕ
·
∂bv(θ,ϕ)
∂ϕ
dϕ = −
Z
2π
0
∂bu
∂ϕ
·
∂bv
∂ϕ
dϕ,
поскольку в силу 2π-периодичности по ϕ функций ˜u(θ,ϕ) и
bv(θ,ϕ) имеем
∂bu(θ,ϕ)
∂ϕ
bv(θ,ϕ)
ϕ=2π
ϕ=0
= 0. Используя полученные
14
дует утверждение относительно первой функции (19). Далее,
дифференцируя (20) по ϕ, имеем

            
  1 ∂b u         ∂ ũ
         = −          (sin θ cos ϕ, sin θ sin ϕ) sin ϕ+
sin θ ∂ϕ         ∂x1
                                               
         ∂ ũ                                          h π i         
       +      (sin θ cos ϕ, sin θ sin ϕ) cos ϕ ∈ C 1 0,       × [0,2π] ,
         ∂x1                                              6
опять же как линейная комбинация суперпозиций функций со-
                                                              π
ответствующей гладкости. (Отметим, что при θ 6 6 имеем
     p                        1
0 6 x21 + x22 = sin θ 6 2 ). Итак, необходимые утверждения
установлены.
   Отсюда следует законность использованных расстановок
порядков интегрирования в последнем выражении (18). Далее,
интегрированием по частям встречающихся там внутренних
интегралов имеем
  Z π                                                         θ=π
       ∂          ∂b
                   u(θ,ϕ)                      ∂b
                                                u(θ,ϕ)
            sin θ           vb(θ,ϕ) dθ = sin θ         vb(θ,ϕ)      −
   0 ∂θ             ∂θ                           ∂θ             θ=0
      Z π                                  Z π
                ∂bu(θ,ϕ) ∂b v (θ,ϕ)             ∂bu ∂b v
   −      sin θ         ·           dθ = −          ·     sin θ dθ,
       0           ∂θ         ∂θ             0 ∂θ ∂θ
поскольку sin 0 = sin π = 0, а также
          Z 2π 2                                     ϕ=2π
               ∂ u
                 b(θ,ϕ)              ∂b
                                      u(θ,ϕ)
                        v (θ,ϕ) dϕ =         v (θ,ϕ)      −
                 ∂ϕ2
                        b                    b
           0                           ∂ϕ            ϕ=0
       Z 2π                            Z 2π
             ∂b
              u(θ,ϕ) ∂b v (θ,ϕ)             ∂b
                                             u ∂b  v
     −               ·          dϕ = −          ·    dϕ,
        0      ∂ϕ        ∂ϕ             0   ∂ϕ ∂ϕ
поскольку в силу 2π-периодичности по ϕ функций ũ(θ,ϕ) и
                                  ϕ=2π
                ∂b
                 u(θ,ϕ)
vb(θ,ϕ) имеем     ∂ϕ
                        vb(θ,ϕ)          = 0. Используя полученные
                                  ϕ=0



14

Страницы