Сферические функции. Пальцев Б.В. - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

симметричность и неотрицательность оператора −∆
0
S
1
влекут
следующие свойства его собственных значений и собственных
функций.
Лемма 2. 1
◦
. Собственные значения (СЗ) оператора −∆
0
S
1
неотрицательны.
2
◦
. Собственные функции (СФ) оператора −∆
0
S
1
, отвеча-
ющие различным СЗ, ортогональны относительно скалярного
произведения (16).
Д о к а з а т е л ь с т в о. 1
◦
. Пусть y(x) — СФ оператора
−∆
0
S
1
, отвечающая СЗ λ:
−∆
0
S
1
y(x) = λy(x), y(x) 6≡ 0. (23)
Последнее влечёт, что (y,y)
S
1
> 0. Тогда в силу (23) и (22)
(−∆
0
S
1
y,y)
S
1
= (λy,y)
S
1
= λ(y,y)
S
1
> 0.
Отсюда вытекает, что и λ > 0.
2
◦
. Пусть y
1
(x) и y
2
(x) — две СФ оператора −∆
0
S
1
, отве-
чающие, соответственно, СЗ λ
1
и λ
2
, причём λ
1
6= λ
2
. Тогда,
пользуясь симметричностью −∆
0
S
1
и действительностью СЗ λ
1
и λ
2
, имеем:
λ
1
(y
1
,y
2
)
S
1
= (λ
1
y
1
,y
2
)
S
1
= (−∆
0
S
1
y
1
,y
2
)
S
1
= (y
1
, −∆
0
S
1
y
2
)
S
1
=
= (y
1
,λ
2
y
2
)
S
1
= λ
2
(y
1
,y
2
)
S
1
.
Отсюда
(λ
1
− λ
2
)(y
1
,y
2
)
S
1
= 0,
и, поскольку (λ
1
− λ
2
) 6= 0, (y
1
,y
2
)
S
1
= 0. Лемма установлена.
Следующая лемма является центральной для изложения те-
ории сферических функций, которому мы следуем.
Лемма 3. 1
◦
. Собственными значениями оператора −∆
0
S
1
могут быть лишь числа λ
l
= l(l + 1), где l > 0 — целые.
Если λ = l(l + 1) — СЗ, а y(x) — соответствующая ему СФ
16
симметричность и неотрицательность оператора −∆0S1 влекут
следующие свойства его собственных значений и собственных
функций.
   Лемма 2. 1◦ . Собственные значения (СЗ) оператора −∆0S1
неотрицательны.
   2◦ . Собственные функции (СФ) оператора −∆0S1 , отвеча-
ющие различным СЗ, ортогональны относительно скалярного
произведения (16).
  Д о к а з а т е л ь с т в о. 1◦ . Пусть y(x) — СФ оператора
−∆0S1 , отвечающая СЗ λ:
                   −∆0S1 y(x) = λy(x),       y(x) 6≡ 0.                (23)
Последнее влечёт, что (y,y)S1 > 0. Тогда в силу (23) и (22)
              (−∆0S1 y,y)S1 = (λy,y)S1 = λ(y,y)S1 > 0.
Отсюда вытекает, что и λ > 0.
   2◦ . Пусть y1 (x) и y2 (x) — две СФ оператора −∆0S1 , отве-
чающие, соответственно, СЗ λ1 и λ2 , причём λ1 6= λ2 . Тогда,
пользуясь симметричностью −∆0S1 и действительностью СЗ λ1
и λ2 , имеем:
λ1 (y1 ,y2 )S1 = (λ1 y1 ,y2 )S1 = (−∆0S1 y1 ,y2 )S1 = (y1 , − ∆0S1 y2 )S1 =
             = (y1 ,λ2 y2 )S1 = λ2 (y1 ,y2 )S1 .
Отсюда
                    (λ1 − λ2 )(y1 ,y2 )S1 = 0,
и, поскольку (λ1 − λ2 ) 6= 0, (y1 ,y2 )S1 = 0. Лемма установлена.
    Следующая лемма является центральной для изложения те-
ории сферических функций, которому мы следуем.
   Лемма 3. 1◦ . Собственными значениями оператора −∆0S1
могут быть лишь числа λl = l(l + 1), где l > 0 — целые.
Если λ = l(l + 1) — СЗ, а y(x) — соответствующая ему СФ


16

Страницы