Сферические функции. Пальцев Б.В. - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

что R(ρ) является решением на (0,∞) обыкновенного диффе-
ренциального уравнения
R
00
(ρ) +
2
ρ
R
0
(ρ) −
λ
ρ
2
R(ρ) = 0.
Это уравнение является уравнением Эйлера, и его решения
следует искать в виде R(ρ) = ρ
µ
. Подставляя такое выражение
в (25) и сокращая на ρ
µ−2
, приходим к следующему уравнению
для µ:
µ
2
+ µ − λ = 0. (26)
Корнями этого уравнения являются значения
µ
±
= −
1
2
±
r
1
4
+ λ.
Поскольку λ > 0, имеем
r
1
4
+ λ >
1
2
, а потому
µ
+
= −
1
2
+
r
1
4
+ λ > 0, а µ
−
6 −1.
Рассмотрим далее только функцию V (x), которая в сф е ри-
ческой системе имеет выражение
b
V (ρ,θ,ϕ) = ρ
µ
+
by(θ,ϕ). (27)
Итак, эта функция является гармонической в R
3
\ {0}. Уста-
новим, что V (x) является ограниченной в проколотом шаре
0 < |x| = ρ 6 1.
В самом деле, т.к. y(x) ∈ C(S
1
)
⊂ C
2
(S
1
)
, а S
1
— замкну-
тое ограниченное множество в R
3
, то по теореме Вейерштрасса
y(x) ограничена на S
1
: ∃M : |y(x)| 6 M ∀x ∈ S
1
. Поэтому и
|by(θ,ϕ)| 6 M, 0 6 θ 6 π, 0 6 ϕ 6 2π. (28)
Так как µ
+
> 0, ρ
µ
+
6 1 при 0 < ρ 6 1. Отсюда
b
V (ρ,θ,ϕ)
6
6 M , а потому и |V (x)| 6 M при 0 < |x| 6 1.
18
что R(ρ) является решением на (0,∞) обыкновенного диффе-
ренциального уравнения
                          2         λ
                R00 (ρ) + R0 (ρ) − 2 R(ρ) = 0.
                          ρ         ρ
    Это уравнение является уравнением Эйлера, и его решения
следует искать в виде R(ρ) = ρµ . Подставляя такое выражение
в (25) и сокращая на ρµ−2 , приходим к следующему уравнению
для µ:
                         µ2 + µ − λ = 0.                (26)
Корнями этого уравнения являются значения
                                  r
                              1      1
                      µ± = − ±         + λ.
                              2      4
                          r
                            1        1
Поскольку λ > 0, имеем 4 + λ > 2 , а потому
                         r
                   1        1
            µ+ = − +          + λ > 0, а µ− 6 −1.
                   2        4
   Рассмотрим далее только функцию V (x), которая в сфери-
ческой системе имеет выражение
                    Vb (ρ,θ,ϕ) = ρµ+ yb(θ,ϕ).         (27)
Итак, эта функция является гармонической в R3 \ {0}. Уста-
новим, что V (x) является ограниченной в проколотом шаре
0 < |x| = ρ 6 1.
   В самом деле, т.к. y(x) ∈ C(S1 ) ⊂ C 2 (S1 ) , а S1 — замкну-
                                               

тое ограниченное множество в R3 , то по теореме Вейерштрасса
y(x) ограничена на S1 : ∃ M : |y(x)| 6 M ∀ x ∈ S1 . Поэтому и
            |b
             y (θ,ϕ)| 6 M, 0 6 θ 6 π, 0 6 ϕ 6 2π.           (28)
Так как µ+ > 0, ρµ+ 6 1 при 0 < ρ 6 1. Отсюда Vb (ρ,θ,ϕ) 6
6 M , а потому и |V (x)| 6 M при 0 < |x| 6 1.


18

Страницы