Сферические функции. Пальцев Б.В. - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

различных представления для v(t), получим, что
v(t)
a
l
t
µ
= t
l−µ
1 +
l−1
X
k=0
a
k
a
l
t
−(l−k)
!
= t
l−µ
1 + O
1
t

=
b
a
l
при t → ∞. Это возможно лишь в том случае, когда l − µ = 0
и
b
a
l
= 1. Таким образом, v(t) = bt
l
.
Перейдём теперь к доказательству сформулированного
выше утверждения относительно функции V (x). Представим
многочлен V (x) в виде
V (x) =
p
X
k=0
V
k
(x),
где V
k
(x) =
P
α
1
,α
2
,α
3
>0
α
1
+α
2
+α
3
=k
C
k
α
1
,α
2
,α
3
x
α
1
1
x
α
2
2
x
α
3
3
— однородные мно-
гочлены степени k, k = 0,1, . . . ,p. Переходя к сферическим
координатам, имеем
b
V
k
(ρ,θ,ϕ) = ρ
k
by
k
(θ,ϕ) (29)
и
b
V (ρ,θ,ϕ) =
p
X
k=0
by
k
(θ,ϕ)ρ
k
, (30)
где by
k
(θ,ϕ) — некоторые бесконечно дифференцируемые функ-
ции θ и ϕ.
Обратимся к представлению (27) и сначала воспользуемся
предложением 1 для тех точек θ,ϕ, в которых by(θ,ϕ) 6= 0. Это
нам даёт, что µ
+
= l — целому (одному и тому же для всех
таких θ и ϕ), что p = l, что by
l
(θ,ϕ) = by(θ,ϕ) и что by
k
(θ,ϕ) =
= 0, k = 0,1, . . . ,(l − 1) во всех тех точках θ,ϕ, где by(θ,ϕ) 6= 0.
Для тех же точек θ,ϕ, где by(θ,ϕ) = 0, сравнивая представления
(30) и (27), находим, что все by
k
(θ,ϕ), k = 0,1, . . . ,l также равны
нулю.
20
различных представления для v(t), получим, что
                    l−1
                                  !              
   v(t)      l−µ
                    X   ak −(l−k)      l−µ        1     b
        µ
          =t     1+        t        =t       1+O      =
   al t                 al                        t     al
                        k=0
при t → ∞. Это возможно лишь в том случае, когда l − µ = 0
     b
и a = 1. Таким образом, v(t) = btl .
   l
   Перейдём теперь к доказательству сформулированного
выше утверждения относительно функции V (x). Представим
многочлен V (x) в виде
                                           p
                                           X
                                V (x) =          Vk (x),
                                           k=0

                                Cαk1 ,α2 ,α3 xα1 1 xα2 2 xα3 3
                    P
где Vk (x) =                                                     — однородные мно-
                α1 ,α2 ,α3 >0
               α1 +α2 +α3 =k
гочлены степени k, k = 0,1, . . . ,p. Переходя к сферическим
координатам, имеем
                   Vbk (ρ,θ,ϕ) = ρk ybk (θ,ϕ)            (29)
и
                                           p
                                           X
                       Vb (ρ,θ,ϕ) =              ybk (θ,ϕ)ρk ,                (30)
                                           k=0
где ybk (θ,ϕ) — некоторые бесконечно дифференцируемые функ-
ции θ и ϕ.
   Обратимся к представлению (27) и сначала воспользуемся
предложением 1 для тех точек θ,ϕ, в которых yb(θ,ϕ) 6= 0. Это
нам даёт, что µ+ = l — целому (одному и тому же для всех
таких θ и ϕ), что p = l, что ybl (θ,ϕ) = yb(θ,ϕ) и что ybk (θ,ϕ) =
= 0, k = 0,1, . . . ,(l − 1) во всех тех точках θ,ϕ, где yb(θ,ϕ) 6= 0.
Для тех же точек θ,ϕ, где yb(θ,ϕ) = 0, сравнивая представления
(30) и (27), находим, что все ybk (θ,ϕ), k = 0,1, . . . ,l также равны
нулю.


20

Страницы