Сферические функции. Пальцев Б.В. - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

довательно по ρ, θ и ϕ, имеем
∂bu
∂ρ
=
c
∂u
∂x
1
sin θ cos ϕ +
c
∂u
∂x
2
sin θ sin ϕ +
c
∂u
∂x
3
cos θ,
1
ρ
∂bu
∂θ
=
c
∂u
∂x
1
cos θ cos ϕ +
c
∂u
∂x
2
cos θ sin ϕ −
c
∂u
∂x
3
sin θ,
1
ρ sin θ
∂bu
∂ϕ
= −
c
∂u
∂x
1
sin ϕ +
c
∂u
∂x
2
cos ϕ.
(8)
Поскольку
n
∂u
∂x
1
,
∂u
∂x
2
,
∂u
∂x
3
o
— координаты ∇u в декартовой
системе, в силу (7) получаем
(∇u)
ρ
=
c
∂u
∂ρ
, (∇u)
θ
=
1
ρ
c
∂u
∂θ
, (∇u)
ϕ
=
1
ρ sin θ
c
∂u
∂ϕ
. (9)
3
◦
. Пусть теперь
→
F — гладкое векторное поле в Ω. Полу-
чим выражение
\
div
→
F в сферической системе, т.е. выражение
этой функции через F
ρ
, F
θ
, F
ϕ
. Для этого сначала выразим
c
∂u
∂x
1
,
c
∂u
∂x
2
и
c
∂u
∂x
3
, где u — произвольная гладкая функция в Ω,
через
c
∂u
∂ρ
,
c
∂u
∂ρ
и
c
∂u
∂ρ
. Это легко сделать, рассматривая соот-
ношения (8) как систему линейных уравнений относительно
величин
c
∂u
∂x
1
,
c
∂u
∂x
2
,
c
∂u
∂x
3
. Учитывая то, что матрица такой си-
стемы — ортогональная матрица, а обратная к ортогональной
6
довательно по ρ, θ и ϕ, имеем


            ∂b
             u   ∂u
                  c                 ∂u
                                     c                 ∂u
                                                        c
               =     sin θ cos ϕ +      sin θ sin ϕ +      cos θ,
            ∂ρ   ∂x1                ∂x2                ∂x3
          1 ∂b
             u   ∂u
                  c                  ∂u
                                     c                  ∂u
                                                        c
               =     cos θ cos ϕ +       cos θ sin ϕ −      sin θ,   (8)
          ρ ∂θ   ∂x1                ∂x2                ∂x3
       1 ∂b  u     ∂u
                   c             ∂u
                                 c
               =−      sin ϕ +       cos ϕ.
    ρ sin θ ∂ϕ    ∂x1           ∂x2


                 ∂u   ∂u   ∂u
             n                  o
Поскольку           ,    ,
                 ∂x1 ∂x2 ∂x3
                                    — координаты ∇u в декартовой
системе, в силу (7) получаем


                  ∂u
                  c            1 ∂u
                                 c               1 ∂u c
       (∇u)ρ =       , (∇u)θ =      , (∇u)ϕ =            .           (9)
                  ∂ρ           ρ ∂θ           ρ sin θ ∂ϕ



                         →
   3◦ . Пусть теперь F — гладкое векторное поле в Ω. Полу-
                 \  →
чим выражение div   F в сферической системе, т.е. выражение
этой функции через F ρ , F θ , F ϕ . Для этого сначала выразим
 ∂u
 c    ∂u
      c     ∂u
             c
    ,
∂x1 ∂x2
          и ∂x ,    где u — произвольная гладкая функция в Ω,
              3
       ∂u
       c ∂uc        ∂u
                    c
через ∂ρ , ∂ρ и     ∂ρ
                       . Это легко сделать, рассматривая соот-
ношения (8) как систему линейных уравнений относительно
           ∂u
           c      ∂u
                  c    ∂u
                       c
величин ∂x , ∂x , ∂x . Учитывая то, что матрица такой си-
          1    2    3
стемы — ортогональная матрица, а обратная к ортогональной


6

Страницы