Сферические функции. Пальцев Б.В. - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§ 1. Оператор Лапласа в сферической системе
θ
ϕ
ρ
O
x
1
x
2
x
3
x
x
0
Рис. 1
Естественно перейти в за даче (1)
к сферической системе координат
ρ,θ,ϕ:
ρ = |x| =
p
x
2
1
+ x
2
2
+ x
2
3
,
θ — угол между осью Ox
3
и вектором
x, отсчитываемый от оси Ox
3
,
ϕ — угол между осью Ox
1
и проек-
цией x
0
вектора x на плоскость x
3
=
= 0, отсчитываемый от оси Ox
1
.
При этом
x
1
= ρ sin θ cos ϕ, x
2
= ρ sin θ sin ϕ, x
3
= ρ cos θ,
ρ > 0, 0 6 θ 6 π, 0 6 ϕ 6 2π
(2)
(при ρ = 0 θ и ϕ не определяются однозначно).
Выведем уравнение Лапласа в сферической системе коор-
динат. Поскольку
∆u = div grad u,
то для этого следует получить выражения в сферической си-
стеме для grad u и div
→
F , где u — скалярное, а
→
F — векторное
поля в Ω.
Если u(x) = u(x
1
,x
2
,x
3
) — некоторая функция в Ω, то через
bu(ρ,θ,ϕ) будем обозначать выражение функции u(x) в сфери-
ческой системе
bu(ρ,θ,ϕ) = u(ρ sin θ cos ϕ,ρ sin θ sin ϕ,ρ cos θ). (3)
Итак, нам нужно получить выражение
c
∆u(ρ,θ,ϕ) через
bu(ρ,θ,ϕ).
1
◦
. Обозначим через ~e
1
,~e
2
,~e
3
ортонормированный базис ис-
ходной декартовой системы Ox
1
,x
2
,x
3
. Пусть
→
F = F
1
e
1
+ F
2
e
2
+ F
3
e
3
(4)
4
     § 1. Оператор Лапласа в сферической системе
      x3                                Естественно перейти в задаче (1)
                                    к сферической системе координат
                     x              ρ,θ,ϕ:   p
             θ                      ρ = |x| = x21 + x22 + x23 ,
                 ρ                  θ — угол между осью Ox3 и вектором
      O                             x, отсчитываемый от оси Ox3 ,
                              x2
                                    ϕ — угол между осью Ox1 и проек-
       ϕ             x0
x1                                  цией x0 вектора x на плоскость x3 =
            Рис. 1                  = 0, отсчитываемый от оси Ox1 .
                                        При этом
           x1 = ρ sin θ cos ϕ,      x2 = ρ sin θ sin ϕ,     x3 = ρ cos θ,
                                                                            (2)
                          ρ > 0, 0 6 θ 6 π, 0 6 ϕ 6 2π
(при ρ = 0 θ и ϕ не определяются однозначно).
   Выведем уравнение Лапласа в сферической системе коор-
динат. Поскольку
                        ∆u = div grad u,
то для этого следует получить выражения в сферической си-
                       →                        →
стеме для grad u и div F , где u — скалярное, а F — векторное
поля в Ω.
   Если u(x) = u(x1 ,x2 ,x3 ) — некоторая функция в Ω, то через
u
b(ρ,θ,ϕ) будем обозначать выражение функции u(x) в сфери-
ческой системе
              u
              b(ρ,θ,ϕ) = u(ρ sin θ cos ϕ,ρ sin θ sin ϕ,ρ cos θ).            (3)
   Итак, нам нужно получить выражение ∆u(ρ,θ,ϕ)   c        через
u
b(ρ,θ,ϕ).
   1◦ . Обозначим через ~e1 ,~e2 ,~e3 ортонормированный базис ис-
ходной декартовой системы Ox1 ,x2 ,x3 . Пусть
                             →
                             F = F 1 e1 + F 2 e2 + F 3 e3                   (4)


4

Страницы