Сферические функции. Пальцев Б.В. - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

— некоторое векторное поле в Ω (
→
F =
→
F (x) — вектор-
функция на Ω), {F
1
,F
2
,F
3
} — координаты
→
F в базисе ~e
1
,~e
2
,~e
3
.
Каждой точке x ∈ Ω, x 6= 0, со сферическими координатами
(ρ,θ,ϕ) поставим в соответствие подвижный ортонормирован-
ный репер ~e
ρ
,~e
θ
,~e
ϕ
(тройку взаимно ортогональных единичных
векторов):
~e
ρ
= (sin θ cos ϕ, sin θ sin ϕ, cos θ)
=
∂x
∂ρ
,
~e
θ
= (cos θ cos ϕ, cos θ sin ϕ, − sin θ)
=
1
ρ
∂x
∂θ
,
~e
ϕ
= (−sin ϕ, cos ϕ,0)
=
1
ρ sin θ
∂x
∂ϕ
.
(5)
Легко видеть, что эти векторы — единичные касательные век-
торы соответственно к координатным линиям
θ,ϕ = const , ρ,ϕ = const , ρ,θ = const .
Разложим вектор
→
F по ортонормированному базису (5)
→
F = F
ρ
~e
ρ
+ F
θ
~e
θ
+ F
ϕ
~e
ϕ
, (6)
{F
ρ
,F
θ
,F
ϕ
} — координаты
→
F в базисе (5) или, как мы их бу-
дем называть, координаты вектора
→
F в сферической системе.
В силу ортонормированности репера (5)
F
ρ
= (
→
F ,~e
ρ
) =
b
F
1
sin θ cos ϕ +
b
F
2
sin θ sin ϕ +
b
F
3
cos θ,
F
θ
= (
→
F ,~e
ρ
) =
b
F
1
cos θ cos ϕ +
b
F
2
cos θ sin ϕ −
b
F
3
sin θ,
F
ϕ
= (
→
F ,~e
ρ
) = −
b
F
1
sin ϕ +
b
F
2
cos ϕ,
(7)
где
b
F
k
— декартовы координаты F
k
, выраженные как скаляр-
ные функции в сферической системе.
2
◦
. Получим выражение координат вектора ∇u = grad u,
u ∈ C
1
(Ω), в сферической системе. Дифференцируя (3) после-
5
                                              →       →
— некоторое векторное поле в Ω ( F = F (x) — вектор-
                                                      →
функция на Ω), {F 1 ,F 2 ,F 3 } — координаты F в базисе ~e1 ,~e2 ,~e3 .
    Каждой точке x ∈ Ω, x 6= 0, со сферическими координатами
(ρ,θ,ϕ) поставим в соответствие подвижный ортонормирован-
ный репер ~eρ ,~eθ ,~eϕ (тройку взаимно ортогональных единичных
векторов):
                                                          
                                                       ∂x
         ~eρ = (sin θ cos ϕ, sin θ sin ϕ, cos θ)     =       ,
                                                        ∂ρ
                                                               
                                                           1 ∂x
         ~eθ = (cos θ cos ϕ, cos θ sin ϕ, − sin θ)      =         , (5)
                                                           ρ ∂θ
                                                     
                                              1 ∂x
        ~eϕ = (− sin ϕ, cos ϕ,0)        =               .
                                           ρ sin θ ∂ϕ
Легко видеть, что эти векторы — единичные касательные век-
торы соответственно к координатным линиям
          θ,ϕ = const ,       ρ,ϕ = const ,       ρ,θ = const .
                          →
   Разложим вектор F по ортонормированному базису (5)
                      →
                     F = F ρ~eρ + F θ~eθ + F ϕ~eϕ ,                    (6)
                                 →
{F ρ ,F θ ,F ϕ } — координаты F в базисе (5) или, как мы их бу-
                                      →
дем называть, координаты вектора F в сферической системе.
В силу ортонормированности репера (5)
           →
   F ρ = ( F ,~eρ ) = Fb1 sin θ cos ϕ + Fb2 sin θ sin ϕ + Fb3 cos θ,
           →
   F θ = ( F ,~eρ ) = Fb1 cos θ cos ϕ + Fb2 cos θ sin ϕ − Fb3 sin θ,   (7)
            →
   F ϕ = ( F ,~eρ ) = −Fb1 sin ϕ + Fb2 cos ϕ,
где Fbk — декартовы координаты F k , выраженные как скаляр-
ные функции в сферической системе.
   2◦ . Получим выражение координат вектора ∇u = grad u,
u ∈ C 1 (Ω), в сферической системе. Дифференцируя (3) после-


                                                                        5

Страницы