Сферические функции. Пальцев Б.В. - 3 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

В дальнейшем будем обозначать:
C
k
(Ω), где k > 0 — целое, Ω — область в R
n
, — пространство
функций непрерывных в Ω вместе со всеми своими частными
производными до k-го порядка включительно;
C
k
(Ω), k > 0 — целое, — подпространство пространства
C
k
(Ω), состоящее из функций, которые вместе со всеми сво-
ими производными до k-го порядка допускают продолжения в
замыкание Ω области Ω как непрерывные на Ω функции;
C(Ω) = C
0
(Ω) и C(Ω) = C
0
(Ω) — пространства непрерывных
функций на Ω и Ω соответственно.
Функция u(x) ∈ C
2
(Ω), удовлетворяющая в области Ω урав-
нению Лапласа ∆u(x) = 0, называется гармонической в Ω.
Рассмотрим задачу Дирихле для уравнения Лапласа
∆u(x) = 0, x = (x
1
,x
2
,x
3
) ∈ Ω ⊂ R
3
,
u|
Γ
= u
0
(x), Γ = ∂Ω — граница Ω,
(1)
где Ω — область в R
3
, обладающая круговой симметрией:
либо шар Ω = {x : |x| < R},
либо внешность шара Ω = {x : |x| > r},
либо шаровой слой Ω = {x : r < |x| < R},
u
0
(x) ∈ C(Γ), где C(Γ) — пространство непрерывных функций
на Γ, а, если необходимо, и достаточно гладкая заданная на Γ
функция.
Оказывается, что для решения и этой задачи можно раз-
вить метод Фурье. При этом возникают новые специальные
функции — так называемые сферические функции.
3
     В дальнейшем будем обозначать:
C k (Ω), где k > 0 — целое, Ω — область в Rn , — пространство
функций непрерывных в Ω вместе со всеми своими частными
производными до k-го порядка включительно;
C k (Ω), k > 0 — целое, — подпространство пространства
C k (Ω), состоящее из функций, которые вместе со всеми сво-
ими производными до k-го порядка допускают продолжения в
замыкание Ω области Ω как непрерывные на Ω функции;
C(Ω) = C 0 (Ω) и C(Ω) = C 0 (Ω) — пространства непрерывных
функций на Ω и Ω соответственно.
     Функция u(x) ∈ C 2 (Ω), удовлетворяющая в области Ω урав-
нению Лапласа ∆u(x) = 0, называется гармонической в Ω.
     Рассмотрим задачу Дирихле для уравнения Лапласа
            ∆u(x) = 0,   x = (x1 ,x2 ,x3 ) ∈ Ω ⊂ R3 ,
                                                           (1)
             u|Γ = u0 (x), Γ = ∂Ω — граница Ω,
где Ω — область в R3 , обладающая круговой симметрией:
либо шар Ω = {x : |x| < R},
либо внешность шара Ω = {x : |x| > r},
либо шаровой слой Ω = {x : r < |x| < R},
u0 (x) ∈ C(Γ), где C(Γ) — пространство непрерывных функций
на Γ, а, если необходимо, и достаточно гладкая заданная на Γ
функция.
    Оказывается, что для решения и этой задачи можно раз-
вить метод Фурье. При этом возникают новые специальные
функции — так называемые сферические функции.




                                                            3

Страницы