Сферические функции. Пальцев Б.В. - 24 стр.

нике T , лежащем в этой плоскости и изображённом на рис. 4.
Нетрудно подсчитать количество таких точек:

                                             (l + 1)(l + 2)
          dim Pl = (l + 1) + l + . . . + 1 =                .   (35)
                                                   2
     Далее установим следующее утверждение.
   Предложение 3. Оператор Лапласа ∆ отображает про-
странство Pl на всё пространство Pl−2 (в случае l = 0,1 про-
странство Pl−2 состоит только из одной нулевой функции и его
размерность равна нулю).
   Д о к а з а т е л ь с т в о. Нужно показать, что для любого
однородного многочлена q(x) степени m > 0 найдётся такой
однородный многочлен p(x) степени (m + 2), что
                            ∆p(x) = q(x).                       (36)
     1◦ . В случае, когда m = 0, т.е. q(x) = c0 = const, p(x) =
  c
= 20 x21 удовлетворяет (36) и для l − 2 = 0 предложение 3 спра-
ведливо.
   2◦ . Предложение 3 справедливо и для случая, когда q(x)
является однородным многочленом только одной перемен-
ной. Например, если q(x) = cm xm  1 , то многочлен p(x) =
          c
         m
= (m + 1)(m     xm+2 очевидно удовлетворяет (36). Заметим,
            + 2) 1
что при этом p(x) — однородный многочлен также только од-
ной переменной x1 .
   3◦ . Установим далее справедливость предложения 3 для
случая, когда q(x) является однородным многочленом только
двух переменных. Будем доказывать это индукцией по степени
многочлена q(x). Итак предположим, что (36) уже установлено
для всех однородных многочленов степени m двух каких-либо
переменных, например, x1 и x2 , и что при этом p(x) — одно-
родный многочлен степени m + 2 опять тех же двух перемен-


24