Сферические функции. Пальцев Б.В. - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

лучению выражений сферических функций в сферической си-
стеме.
§ 4. Выражение сферических функций
в сферической системе координат.
Уравнение Лежандра
Пусть y(x) — сферическая функция веса l, l > 0 — целое, а
by(θ,ϕ) — её выражение в сферической системе. y(x) ∈ C
∞
(S
1
)
как след гармонического многочлена и, кроме того, y(x) — СФ
оператора −∆
0
S
1
, отвечающая СЗ λ = l(l+1). Поэтому by(θ,ϕ) ∈
∈ C
∞
([0,π] ×[0,2π]), заведомо ограниченная функция, by(θ,ϕ) 6≡
≡ 0, и удовлетворяет уравнению
1
sin θ
∂
∂θ
sin θ
∂by
∂θ
+
1
sin
2
θ
∂
2
by
∂ϕ
2
+ l(l + 1)by = 0,
0 < θ < π, 0 6 ϕ 6 2π.
(39)
Нам достаточно найти (2l + 1) линейно независимых функ-
ций, удовлетворяющих этим условиям. Будем искать каждую
такую функцию методом разделения переме нных в виде
by(θ,ϕ) = z(θ)e
imϕ
, m — целое. (40)
В силу бесконечной дифференцируемости by(θ,ϕ) функция z(θ)
также обязана принадлежать C
∞
([0,2π]). Подставляя (40)
в (39) и с окращая на e
imϕ
6= 0, приходим к обыкновенному
дифференциальному уравнению
1
sin θ
(sin θz
0
(θ))
0
−
m
2
sin
2
θ
− l(l + 1)
z(θ) = 0, 0 < θ < π,
(41)
где z(θ) 6≡ 0, z(θ) ∈ C
∞
([0,π]).
В этом уравнении удобно сделать замену независимой пе-
ременной
t = cos θ, z(θ) = P (cos θ), − 1 < t < 1, (42)
28
лучению выражений сферических функций в сферической си-
стеме.
        § 4. Выражение сферических функций
          в сферической системе координат.
                Уравнение Лежандра
     Пусть y(x) — сферическая функция веса l, l > 0 — целое, а
yb(θ,ϕ) — её выражение в сферической системе. y(x) ∈ C ∞ (S1 )
как след гармонического многочлена и, кроме того, y(x) — СФ
оператора −∆0S1 , отвечающая СЗ λ = l(l+1). Поэтому yb(θ,ϕ) ∈
∈ C ∞ ([0,π] × [0,2π]), заведомо ограниченная функция, yb(θ,ϕ) 6≡
≡ 0, и удовлетворяет уравнению
                                    1 ∂ 2 yb
                             
            1 ∂            ∂b
                            y
                     sin θ      +            + l(l + 1)b
                                                       y = 0,
          sin θ ∂θ         ∂θ     sin2 θ ∂ϕ2                  (39)
                      0 < θ < π,      0 6 ϕ 6 2π.
   Нам достаточно найти (2l + 1) линейно независимых функ-
ций, удовлетворяющих этим условиям. Будем искать каждую
такую функцию методом разделения переменных в виде
                yb(θ,ϕ) = z(θ)eimϕ ,   m — целое.            (40)
В силу бесконечной дифференцируемости yb(θ,ϕ) функция z(θ)
также обязана принадлежать C ∞ ([0,2π]). Подставляя (40)
в (39) и сокращая на eimϕ 6= 0, приходим к обыкновенному
дифференциальному уравнению
                         2               
     1          0    0    m
         (sin θz (θ)) −         − l(l + 1) z(θ) = 0, 0 < θ < π,
   sin θ                 sin2 θ
                                                             (41)
где z(θ) 6≡ 0, z(θ) ∈ C ∞ ([0,π]).
    В этом уравнении удобно сделать замену независимой пе-
ременной
           t = cos θ,   z(θ) = P (cos θ),   − 1 < t < 1,     (42)


28

Страницы