Сферические функции. Пальцев Б.В. - 34 стр.

   2◦ . При n = −l решением уравнения (54) является много-
член
                      W (t) = (1 − t2 )l .            (55)
   Д о к а з а т е л ь с т в о. 1◦ . Если S(t) — решение уравнения
(54), то дифференцируя его (как тождество), получим
(1−t2 )(S 0 )00 −2t(S 0 )0 −2(n+1)t(S 0 )0 −2(n+1)S 0 +[l(l+1)−n(n+1)]S 0 =
= (1 − t2 )(S 0 )00 − 2(n + 2)(S 0 )0 + [l(l + 1) − (n + 1)(n + 2)]S 0 = 0,
и первое утверждение леммы установлено.
   2◦ . Преобразуем уравнение (54) при n = −l к виду
     (1 − t2 )S 00 − 2tS 0 + 2ltS 0 + 2lS = ((1 − t2 )S 0 )0 + 2l(tS)0 = 0.
Поэтому решение уравнения первого порядка
                           (1 − t2 )S 0 + 2ltS = 0
будет и решением предыдущего уравнения. Но последнее урав-
нение легко интегрируется (оно является уравнением с разде-
ляющимися переменными). Одним из решений этого уравне-
ния является функция (55). Лемма 6 установлена.
   Применим теперь эту лемму к нахождению решений из
  ∞
C ([−1,1]) уравнений (53). Для того, чтобы получить такое
решение уравнения (53) при m = 0, согласно лемме 6 доста-
точно l раз продифференцировать многочлен (55), и получен-
ный многочлен будет с точностью до постоянного множителя
единственным нетривиальным ограниченным на [−1,1] реше-
нием этого уравнения. Вместо такого многочлена берут мно-
гочлен
                            1 dl 2
                   Pl (t) = l       (t − 1)l             (56)
                           2 l! dtl
(он — степени l), нормированный условием Pl (1) = 1 (прове-
рить последнее самим). Систему многочленов (56) l = 0,1,2, . . .
называют системой многочленов Лежандра. Формула (56) но-
сит название формулы Родрига для многочленов Лежандра.


34