Сферические функции. Пальцев Б.В. - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Лемма 9. Для любых целых l и m, 0 6 m 6 l имеет место
равенство
Z
1
−1
(P
m
l
(t))
2
dt =
(l + m)!
(l −m)!
2
(2l + 1)
. (64)
Для доказательства э той формулы удобно воспользоваться
рекуррентной формулой для многочленов Лежандра, выража-
ющей P
l+1
(t) через P
l
(t) и P
l−1
(t). Доказательство такой фор-
мулы в свою очередь легко следует из нижеследующего разло-
жения, которое представляет и самостоятельный интерес.
Лемма 10. Для любых ρ : 0 6 ρ < 1 справедливо разложе-
ние
1
p
1 − 2tρ + ρ
2
=
∞
X
l=0
P
l
(t)ρ
l
, ∀t ∈ [−1,1], (65)
причём это разложение допускает почленное дифференцирова-
ние по ρ и по t произвольное число раз.
Определение 5. Функцию (1 − 2tρ + ρ
2
)
−
1
2
называют
производящей ф ункцией для многочленов Лежандра.
Д о к а з а т е л ь с т в о леммы 10. Функция
1
|x − y|
, x =
= (x
1
,x
2
,x
3
), y = (y
1
,y
2
,y
3
) ∈ R
3
удовлетворяет уравнению Ла-
пласа по переменным x ∈ R
3
для x 6= y. Положим y = (0,0,1) и
выразим
1
|x − y|
как функцию x в сферической системе:
1
|x − y|
=
1
p
1 − 2ρ cos θ + ρ
2
, ρ = |x|, θ ∈ [0,π]. (66)
Разложим эту функцию при каждом фиксированном θ в ряд
Тейлора по степеням ρ. Покажем, что радиус сходимости та-
кого ряда не меньше 1 (на самом деле равен 1).
38
   Лемма 9. Для любых целых l и m, 0 6 m 6 l имеет место
равенство
            Z 1
                                (l + m)!     2
                (Plm (t))2 dt =                   . (64)
             −1                 (l − m)! (2l + 1)

   Для доказательства этой формулы удобно воспользоваться
рекуррентной формулой для многочленов Лежандра, выража-
ющей Pl+1 (t) через Pl (t) и Pl−1 (t). Доказательство такой фор-
мулы в свою очередь легко следует из нижеследующего разло-
жения, которое представляет и самостоятельный интерес.
   Лемма 10. Для любых ρ : 0 6 ρ < 1 справедливо разложе-
ние
                             ∞
                 1          X
           p              =     Pl (t)ρl , ∀ t ∈ [−1,1], (65)
             1 − 2tρ + ρ2   l=0
причём это разложение допускает почленное дифференцирова-
ние по ρ и по t произвольное число раз.
                                                       1
   Определение 5. Функцию (1 − 2tρ + ρ2 )− 2 называют
производящей функцией для многочленов Лежандра.
                                                           1
   Д о к а з а т е л ь с т в о леммы 10. Функция |x − y| , x =
= (x1 ,x2 ,x3 ), y = (y1 ,y2 ,y3 ) ∈ R3 удовлетворяет уравнению Ла-
пласа по переменным x ∈ R3 для x 6= y. Положим y = (0,0,1) и
            1
выразим |x − y| как функцию x в сферической системе:

        1             1
             =p                   ,   ρ = |x|,   θ ∈ [0,π].    (66)
     |x − y|    1 − 2ρ cos θ + ρ2
Разложим эту функцию при каждом фиксированном θ в ряд
Тейлора по степеням ρ. Покажем, что радиус сходимости та-
кого ряда не меньше 1 (на самом деле равен 1).


38

Страницы