Сферические функции. Пальцев Б.В. - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Предложение 4. Пусть g(z,t) — функция, регулярная в
круге |z| < R при каждом действительном t ∈ [α,β], сама и
все её частные производные по комплексной переменной z и
действительной переменной t являются непрерывными функ-
циями z и t на множестве {z : |z| < R}×{t : α 6 t 6 β}. Тогда
в разложении этой функции в ряд Тейлора
g(z,t) =
∞
X
k=0
a
k
(t)z
k
, |z| < R, t ∈ [α,β], (68)
коэффициенты a
k
(t) ∈ C
∞
([α,β]), и это разложение допускает
почленное дифференцирование по z и по t произвольное число
раз.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Как известно из ТФКП, коэффици-
енты a
k
(t) представимы контурными интегралами
a
k
(t) =
1
2πi
I
|ξ|=R
1
g(ξ,t)
ξ
k+1
dξ, k = 0,1,2, . . . (69)
где R
1
— произвольное, удовлетворяюще е неравенству 0 <
< R
1
< R. Поскольку
1
ξ
k+1
∂
p
∂t
p
g(ξ,t) ∈ C({ξ : |ξ| = R
1
} ×
× {t : α 6 t 6 β}), то дифференцирования под знаком инте-
грала в представлении (68) законны и a
k
(t) дифференцируемы
на [α,β] произвольное число раз.
Покажем далее, что ряд
∞
X
k=0
d
p
dt
p
a
k
(t)z
k
, (70)
полученный почленным дифференцированием ряда (68) p раз
по переменной t, p > 0 — произвольное целое, сходится
равномерно по z и t на всяком множестве {z : |z| 6 r} ×
×{t : α 6 t 6 β}, 0 < r < R. В самом деле, для фиксированного
r < R возьмём в представлении (69) R
1
, удовлетворяющим
40
   Предложение 4. Пусть g(z,t) — функция, регулярная в
круге |z| < R при каждом действительном t ∈ [α,β], сама и
все её частные производные по комплексной переменной z и
действительной переменной t являются непрерывными функ-
циями z и t на множестве {z : |z| < R} × {t : α 6 t 6 β}. Тогда
в разложении этой функции в ряд Тейлора
                    ∞
                    X
           g(z,t) =   ak (t)z k , |z| < R, t ∈ [α,β],       (68)
                    k=0
коэффициенты ak (t) ∈ C ∞ ([α,β]), и это разложение допускает
почленное дифференцирование по z и по t произвольное число
раз.
   Д о к а з а т е л ь с т в о. Как известно из ТФКП, коэффици-
енты ak (t) представимы контурными интегралами
                         I
                     1           g(ξ,t)
           ak (t) =                     dξ, k = 0,1,2, . . . (69)
                    2πi |ξ|=R1 ξ k+1
где R1 — произвольное, удовлетворяющее неравенству 0 <
                               1     ∂p
< R1 < R. Поскольку            k+1   ∂tp
                                         g(ξ,t) ∈ C({ξ : |ξ| = R1 } ×
                           ξ
× {t : α 6 t 6 β}), то дифференцирования под знаком инте-
грала в представлении (68) законны и ak (t) дифференцируемы
на [α,β] произвольное число раз.
    Покажем далее, что ряд
                        ∞
                       X   dp
                               ak (t)z k ,              (70)
                           dtp
                          k=0
полученный почленным дифференцированием ряда (68) p раз
по переменной t, p > 0 — произвольное целое, сходится
равномерно по z и t на всяком множестве {z : |z| 6 r} ×
×{t : α 6 t 6 β}, 0 < r < R. В самом деле, для фиксированного
r < R возьмём в представлении (69) R1 , удовлетворяющим


40

Страницы