Сферические функции. Пальцев Б.В. - 42 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

где, согласно предложению 4, a
l
(θ) = C
∞
([0,π]), причём это
разложение можно почленно дифференцировать по ρ и θ про-
извольное число раз. Поскольку функция (66), как функция x,
гармоническая в шаре |x| < 1, получаем
0 ≡ ∆
x
1
|x − y|
=
∞
X
l=0
1
sin θ
d
dθ
sin θ
da
l
(θ)
dθ
+l(l + 1)a
l
(θ)
ρ
l−2
.
Приравнивая нулю коэффициенты при различных степенях ρ,
находим, что функции a
l
(θ) ∈ C
∞
([0,π]) являются решениями
уравнений (41) с m = 0. Но тогда, как было доказано выше
a
l
(θ) = c
l
P
l
(cos θ), где c
l
— некоторые постоянные.
Итак, установлено, что
1
p
1 − 2ρ cos θ + ρ
2
=
∞
X
l=0
c
l
P
l
(cos θ)ρ
l
, 0 6 ρ < 1.
Определим коэффициенты c
l
подстановкой в последнее соотно-
шение θ = 0. Тогда, используя, что P
l
(1) = 1, получаем:
1
1 − ρ
=
∞
X
l=0
ρ
l
=
∞
X
l=0
c
l
P
l
(1)ρ
l
=
∞
X
l=0
c
l
ρ
l
.
Отсюда следует, что c
l
= 1 ∀l > 0, Итак, с подстановкой
t = cos θ разложение (65) установлено.
Лемма 11. Для многочленов Лежандра P
l
(t) имеет место
рекуррентная ф ормула
(l + 1)P
l+1
(t) − (2l + 1)tP
l
(t) + lP
l−1
(t) ≡ 0, t ∈ [−1,1], l > 0.
(71)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Дифференцируя по ρ разложе-
ние (65), умножая полученное соотношение на (1 − 2tρ + ρ
2
)
42
где, согласно предложению 4, al (θ) = C ∞ ([0,π]), причём это
разложение можно почленно дифференцировать по ρ и θ про-
извольное число раз. Поскольку функция (66), как функция x,
гармоническая в шаре |x| < 1, получаем
                  X∞                                          
             1             1 d            dal (θ)
 0 ≡ ∆x            =                sin θ           +l(l + 1)al (θ) ρl−2
                                                                      .
          |x − y|        sin θ dθ           dθ
                       l=0

Приравнивая нулю коэффициенты при различных степенях ρ,
находим, что функции al (θ) ∈ C ∞ ([0,π]) являются решениями
уравнений (41) с m = 0. Но тогда, как было доказано выше
al (θ) = cl Pl (cos θ), где cl — некоторые постоянные.
     Итак, установлено, что
                                      ∞
                 1                    X
        p                         =         cl Pl (cos θ)ρl , 0 6 ρ < 1.
          1 − 2ρ cos θ +     ρ2       l=0

Определим коэффициенты cl подстановкой в последнее соотно-
шение θ = 0. Тогда, используя, что Pl (1) = 1, получаем:
                        ∞              ∞                  ∞
               1    X      X               X
                  =   ρl =   cl Pl (1)ρl =   cl ρl .
              1−ρ
                       l=0            l=0                l=0

Отсюда следует, что cl = 1 ∀ l > 0, Итак, с подстановкой
t = cos θ разложение (65) установлено.

   Лемма 11. Для многочленов Лежандра Pl (t) имеет место
рекуррентная формула

(l + 1)Pl+1 (t) − (2l + 1)tPl (t) + lPl−1 (t) ≡ 0,         t ∈ [−1,1],     l > 0.
                                                                             (71)

   Д о к а з а т е л ь с т в о. Дифференцируя по ρ разложе-
ние (65), умножая полученное соотношение на (1 − 2tρ + ρ2 )


42

Страницы