Сферические функции. Пальцев Б.В. - 45 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Отсюда
Z
1
−1
(P
m
l
(t))
2
dt = (l + m)(l −m + 1) × (l + m − 1)(l − m + 2)×
× . . . × (l + 1)l
Z
1
−1
P
2
l
(t) dt =
= (l + m)(l − m + 1) . . . (l − m + 1) ·
2
(2l + 1)
=
=
(l + m)!
(l − m)!
2
(2l + 1)
.
Итак, формула (64) установлена. С этой формулой устано-
влена и формула (61).
Линейная независимость при каждом l > 0 системы (60)
из (2l + 1) сферических функций является непосредственным
следствием леммы 7. В самом деле, эта с истема — ортого-
нальная система функций, скалярные квадраты которых от-
личны от нуля, а такая система линейно независима. Следо-
вательно, система (60) при фиксированном l — максимальная
линейно независимая система сферических функций веса l, си-
стема же (60) с l = 0,1,2, . . . — это линейно независимая си-
стема всех сферических функций в R
3
(точнее на S
1
⊂ R
3
).
Оказывается, что эта система является базисом в простран-
стве функций L
2
(S
1
). Пространство L
2
(S
1
) определяется как
пространство функций на S
1
, каждая из которых измерима по
Лебе гу на S
1
(мы можем для простоты ограничиться, напри-
мер, требованием, чтобы функция была кусочно-непрерывна и
имела конечное число особых точек) и для каждой из которых
конечна норма
kuk =
p
(u,u)
S
1
,
где скалярное произведение (u,v)
S
1
определено (16). А именно,
имеет место следующее утверждение.
45
Отсюда
Z 1
    (Plm (t))2 dt = (l + m)(l − m + 1) × (l + m − 1)(l − m + 2)×
 −1
                                         Z   1
                    × . . . × (l + 1)l           Pl2 (t) dt =
                                         −1
                                                                    2
                = (l + m)(l − m + 1) . . . (l − m + 1) ·                 =
                                                                (2l + 1)
                    (l + m)!     2
                =                     .
                    (l − m)! (2l + 1)
   Итак, формула (64) установлена. С этой формулой устано-
влена и формула (61).
   Линейная независимость при каждом l > 0 системы (60)
из (2l + 1) сферических функций является непосредственным
следствием леммы 7. В самом деле, эта система — ортого-
нальная система функций, скалярные квадраты которых от-
личны от нуля, а такая система линейно независима. Следо-
вательно, система (60) при фиксированном l — максимальная
линейно независимая система сферических функций веса l, си-
стема же (60) с l = 0,1,2, . . . — это линейно независимая си-
стема всех сферических функций в R3 (точнее на S1 ⊂ R3 ).
Оказывается, что эта система является базисом в простран-
стве функций L2 (S1 ). Пространство L2 (S1 ) определяется как
пространство функций на S1 , каждая из которых измерима по
Лебегу на S1 (мы можем для простоты ограничиться, напри-
мер, требованием, чтобы функция была кусочно-непрерывна и
имела конечное число особых точек) и для каждой из которых
конечна норма                    p
                       kuk = (u,u)S1 ,
где скалярное произведение (u,v)S1 определено (16). А именно,
имеет место следующее утверждение.


                                                                        45

Страницы