Космофизический практикум. Панасюк М.И - 138 стр.

     Эти формулы позволяют рассчитывать характеристики грави-
тационного поля любых тел. Однако, в ряде случаев возможно ис-
пользовать более простые формулы, которые вытекают из свойств
гравитационного поля. Так соотношение (1) в случае сферического
распределения масс можно записать в виде
                                               Gm(r )
                                 g (r ) = −           .
                                                r2
   Отсюда следует, что при сферическом распределении масс на-
пряженность поля на расстоянии r зависит только от массы веще-
ства, заключенного внутри сферы того же радиуса и не зависит от
распределения масс вне этой сферы. Этот факт позволяет получать
некоторые результаты более простым способом.




             1.2 Гравитационное поле тел общего вида

   Общий вид потенциала, создаваемого телом произвольной фор-
мы дается формулой (2). В эту формулу входит множитель
                           1                   1
                                 =                             ,
                       | r − r′ | r 1 − 2 r ′ cosψ + ( r ′ ) 2
                                          r            r


где ψ - угол между векторами r и r ′ . Правую часть последнего соот-
ношения можно разложить в ряд по полиномам Лежандра
                                 1 ∞ ⎛ r′ ⎞
                                               n
                          1
                                = ∑ ⎜ ⎟ Pn (cosψ ).
                      | r − r′ | r n =0 ⎝ r ⎠       , где                (3)
                                       1 dn ⎛ 2
                          Pn (ξ ) =          n ⎜⎝
                                                  (ξ − 1)n ⎞⎟⎠ .
                                      2 n! ξ
                                       n



     Кроме этого введем присоединенные полиномы Лежандра, ко-
торые определяются следующими соотношениями:
                                                         dm
                      Pnm (ξ ) = (−1) m (1 − ξ 2 )m/ 2        Pn (ξ ).
                                                         ξm



                                         137