Космофизический практикум. Панасюк М.И - 139 стр.

     В формулу (3) входит угол ψ , который выражается через сфе-
рические углы θ и ϕ системы координат. Для преобразования (3) к
виду, в который входят θ и ϕ , воспользуемся теоремой сложения
для полиномов Лежандра. Согласно этой теореме:
                                              n
                                                  (n − m)! m
      Pn (cosψ ) = Pn (cosθ ) Pn (cosθ ′) + 2∑               Pn (cosθ ) Pnm (cosθ ′) cos m(ϕ − ϕ ′).
                                             m =1 ( n + m )!

Здесь θ и ϕ - сферические углы вектора r , направленного в точку
наблюдения, а θ ′ и ϕ ′ - сферические углы вектора r′ , направленного
в точку расположения текущего источника. Подставляя последнее
выражение в формулу (2) приходим к соотношению:
                                      GM    ⎡    ∞
                                                               ⎛a⎞
                                                                   n

                                 φ=        ⎢ ∑ n n
                                             1 +   J P (cos θ )⎜ ⎟ +
                                       r   ⎢⎣ n =1             ⎝r⎠
                                                                                                       (4)
                         ∞   n
                                                              ⎛a⎞
                                                                              n
                                                                                  ⎤
                       + ∑ ∑ (C cos mϕ + S sin mϕ ) P (cos θ )⎜ ⎟
                                      m
                                      n
                                                   m
                                                   n           n
                                                                m
                                                                                  ⎥
                         n =1 m =1                            ⎝r⎠                 ⎥⎦




                       1.3 Гравитационное поле планет

  В случае, тела сферической формы потенциал поля тяготения
зависит только от радиальной координаты и соответствует ньюто-
новскому потенциалу:
                                                        GM
                                            φ (r ) =       .
                                                         r
     Если тело слабо деформировано, то ряд (4) будет содержать
малые поправки к ньютоновскому полю. Планеты и вращающиеся
одиночные звезды обладают осевой симметрией, т.е. ρ = ρ (r,θ ) . В
этом случае секториальные и тессеральные составляющие грави-

тационного поля равны нулю: Cn = Sn = 0 . В результате ряд (4) упро-
                             m    m




щается и приобретает вид:



                                                  138