Космофизический практикум. Панасюк М.И - 142 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Рис. 1. Элементы эллиптической орбиты
Вторым интегралом движения является интеграл энергии, ко-
торый в выбранной полярной системе координат имеет вид:
2
22
0
( ) const
2
r
mmMG
Evr
r
φ
=
+− =
&
.
(10)
Здесь
- радиальная скорость спутника, - полная энергия. Учи-
тывая (9), приходим к следующему уравнению:
r
v
0
E
2
2
0
22
const
2
z
mdr L mMG
E
dt m r r
⎛⎞
⎡⎤
=+−=
⎜⎟
⎢⎥
⎜⎟
⎣⎦
⎝⎠
.
(11)
Делая замену переменных
() ( ())rt r t
φ
=
, получаем:
2
2
2
0
24
2
z
mL dr mMG
rE
mr d r
φ
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎡⎤
+
−=
⎢⎥
⎣⎦
.
Далее делаем замену
1
() ()r
ζφ φ
−
=
и в результате получаем:
2
2
2
0
2
z
Ld
mMG E
md
ζ
ζζ
φ
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎡⎤
+
−=
⎢⎥
⎣⎦
или
22
2
22
0
222
2
const
zzz
mE
dmMG mMG
dLLL
ζ
ζ
φ
⎡⎤ ⎡⎤
⎡⎤
+− = + =
⎢⎥ ⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
⎣⎦ ⎣⎦
.
141
              Рис. 1. Элементы эллиптической орбиты


      Вторым интегралом движения является интеграл энергии, ко-
торый в выбранной полярной системе координат имеет вид:
                                  m 2 2 & 2 mMG
                           E0 =     (vr + r φ ) −   = const.
                                  2               r                   (10)

Здесь vr - радиальная скорость спутника, E0 - полная энергия. Учи-
тывая (9), приходим к следующему уравнению:

                               m ⎛ ⎡ dr ⎤       L2z ⎞ mMG
                                            2

                       E0 =       ⎜           +       ⎟−   = const.
                               2 ⎜⎝ ⎢⎣ dt ⎥⎦ m 2 r 2 ⎟⎠  r
                                                                      (11)

Делая замену переменных r (t ) = r (φ (t )) , получаем:
                                    ⎛         2     ⎞
                           m L2z ⎜⎜ ⎡ dr ⎤        ⎟   mMG
                              2 4 ⎜⎢     ⎥ + r 2 ⎟⎟ −     = E0 .
                           2 m r ⎜⎜ ⎣ dφ ⎦        ⎟⎟   r
                                  ⎝                ⎠




Далее делаем замену ζ (φ ) = r (φ ) и в результате получаем:
                              −1



                           ⎛        2     ⎞
                       L2z ⎜⎜ ⎡ dζ ⎤      ⎟
                                     + ζ  ⎟ − mMGζ = E0
                                         2⎟

                       2m ⎜⎜ ⎣ dφ ⎥⎦
                            ⎜⎢
                                          ⎟⎟
                           ⎝              ⎠                   или
                       2                  2                    2
                  ⎡ dζ ⎤ ⎡    m 2 MG ⎤ 2mE0 ⎡ m 2 MG ⎤
                        +
                  ⎢ dφ ⎥ ⎢ζ −        ⎥ = 2 +⎢        ⎥ = const.
                  ⎣ ⎦ ⎣          L2z ⎦   Lz ⎣ Lz ⎦
                                                  2




                                              141

Страницы