Анализ прохождения сигналов через линейные цепи. Парфенов В.И. - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

30
наблюдаются при tt
=
1
и tt
=
2
. Для стационарного случайного процесса
корреляционная функция
K ()
τ
связана парой преобразований Фурье с так
называемой спектральной плотностью мощности
W
()
ω
(теорема Винера-
Хинчина ):
W
KjdKWjd()()exp(),()()exp().ωτωτττ
π
ωωτω=−=
−∞
∞
−∞
∞
∫∫
1
2
(6.1)
Учитывая, что корреляционная функция
K ()
τ
является четной функцией ,
из (6.1) следует, что и спектральная плотность мощности также является
четной функцией . Следовательно , формулы (6.1) можно переписать в виде
W
KdKWd()()cos(),()()cos().ωτωτττ
π
ωωτω==
∞∞
∫∫
2
1
00
(6.2)
Для оценки “скорости изменения” реализаций случайного процесса
во времени часто используют такие параметры, как интервал корреляции
τ
k
и эффективная ширина спектра
∆Ω
:
τττωω
k
KdKWdW==
∞∞
∫∫
()(),()().
00
020∆Ω
(6.3)
Причем, очевидно,
τ
π
k
∆Ω
=
. Интервал корреляции
τ
k
характеризует
минимальный промежуток времени между отсчетами случайного
процесса , при котором можно считать эти отсчеты приближенно
некоррелированными.
Используя спектральную плотность мощности, легко можно найти
среднюю мощность случайного процесса
PsrKWd==
∞
∫
()(),0
1
0
π
ωω
(6.4)
а также среднюю мощность , сосредоточенную в полосе частот от
ω
1
0
≥
до
ω
2
0
>
:
PWd12
1
1
2
=
∫
π
ωω
ω
ω
(). (6.5)
Если стационарный случайный процесс с корреляционной функцией
K
()
τ
и спектральной плотностью мощности
W
()
ω
воздействует на
вход линейной стационарной цепи с частотным коэффициентом передачи
&
()Kω, то сигнал на выходе также будет являться стационарным
случайным процессом с корреляционной функцией K
â
ûõ
()
τ
и
спектральной плотностью мощности
W
â
ûõ
()
ω
вида
KWKdWWK
выхвхвыхвх
()()|
&
()|cos();()()|
&
()|.τ
π
ωωωτωωωω==
∞
∫
1
2
0
2
(6.6)
6.2. Согласованный фильтр 
                                           30
наб люд аются при t = t1 и t = t 2 . Д ля стационарног о слу чай ног о процесса
корреляционная ф у нкция K ( τ ) св язана парой преоб разов аний Ф у рь е стак
назыв аемой спектраль ной плотность ю мощ ности W (ω ) (теорема В инера-
Хинчина):
              ∞                                   1 ∞
     W (ω ) = ∫ K ( τ )exp( − jωτ )dτ, K ( τ ) =      ∫W (ω )exp( jωτ )dω. (6.1)
             −∞                                  2 π −∞
У читыв ая, что корреляционная ф у нкция K ( τ ) яв ляется четной ф у нкцией ,
из (6.1) след у ет, что и спектраль ная плотность мощ ности такж е яв ляется
четной ф у нкцией . След ов атель но, ф орму лы (6.1) мож но переписать в в ид е
                     ∞                             1∞
          W (ω ) = 2 ∫ K ( τ )cos(ωτ )dτ, K ( τ ) = ∫W (ω )cos(ωτ )dω.     (6.2)
                     0                             π0
       Д ля оценки “скорости изменения” реализаций слу чай ног о процесса
в о в ремени часто исполь зу ют такие параметры, как интерв ал корреляции
τ k и эф ф ектив ная ширина спектра ∆Ω :
                   ∞                            ∞
             τ k = ∫ K ( τ )dτ K (0 ), ∆Ω = 2 ∫W (ω )dω W (0 ).                     (6.3)
                   0                            0
Причем, очев ид но, τ k ∆Ω = π . И нтерв ал корреляции τ k характеризу ет
минималь ный промеж у ток в ремени меж д у отсчетами слу чай ног о
процесса, при котором мож но считать эти отсчеты приб лиж енно
некоррелиров анными.
      И споль зу я спектраль ну ю плотность мощ ности, лег ко мож но най ти
сред нюю мощ ность слу чай ног о процесса
                                          1∞
                            Psr = K (0 ) = ∫W (ω )dω,                 (6.4)
                                          π0
а такж е сред нюю мощ ность , сосред оточенну ю в полосе частот от ω1 ≥ 0
д о ω2 > 0 :
                                      1 ω2
                                P 12 = ∫W (ω )dω.                                   (6.5)
                                      πω
                                           1
        Е сли стационарный слу чай ный процессскорреляционной ф у нкцией
K âõ ( τ ) и спектраль ной плотность ю мощ ности W âõ (ω ) в озд ей ств у ет на
в ход линей ной стационарной цепи с частотнымкоэф ф ициентомперед ачи
K&(ω) , то сиг нал на в ыход е такж е б у д ет яв лять ся стационарным
слу чай ным процессом с корреляционной ф у нкцией               K â û õ (τ ) и
спектраль ной плотность ю мощ ности W â û õ (ω ) в ид а
                1∞
   K в ых ( τ) = ∫ W в х (ω)| K&(ω)|2 cos(ωτ)dω; W в ых (ω ) = W в х (ω )| K&(ω)|2 . (6.6)
                π0

                          6.2. Согла сов а нны й ф и ль тр

Страницы