Радиотехнические сигналы и их линейная обработка. Парфенов В.И. - 37 стр.

жений на входе и выходе рассматриваемой цепи соответственно; U& R ( p) и
U& C ( p) – изображения падений напряжений на резисторе R и конденсаторе
C; I&( p ) – изображение тока в цепи. Так как мы предположили, что вход-
ной сигнал – это дельта-функция, то имеем U& ( p) = 1 . Тогда, в соответст-
                                                          IN
вии        с      определением            импульсной              характеристики получаем
U& OUT ( p ) = H& ( p) , где H& ( p ) – изображение импульсной характеристики цепи.
        2. Учтем, что данная цепь содержит только один замкнутый контур и
вообще не содержит узлов. Следовательно, мы можем записать всего лишь
одно уравнение в операторной форме, вытекающее из второго правила
Кирхгофа:
                                          U& C ( p ) + U& R ( p) = U IN ( p) .      (3.17)
        3. Далее воспользуемся соотношениями (3.11), (3.12), полагая, что в
начальный момент времени напряжение на конденсаторе равно нулю, т. е.
uC (t = 0) = 0 . Тогда уравнение (3.17) перепишется в виде
                                     INU& ( p) = 1 = I&( p) (1/ pC + R ) .          (3.18)
      Учтем, что U& OUT ( p ) = H& ( p ) = U& R ( p) = I&( p ) R . Следовательно, выра-
жение для изображения тока в цепи принимает вид I&( p) = H& ( p) / R . При
этом из (3.18) получаем 1 = H& ( p ) (1 + 1/ pRC ) . Итак, окончательно изобра-
жение импульсной характеристики рассматриваемой цепи принимает сле-
дующий вид:
                                                           pτ
                                              H& ( p ) =         ,                      (3.19)
                                                         1 + pτ
где, как и ранее, τ = RC – постоянная времени рассматриваемой цепи.
      4. Наконец, импульсную характеристику цепи, как функцию време-
ни, найдем, воспользовавшись таблицей 3.1:
                                                                      1      t
                 h(t ) = L−1 ( H& ( p )) = h1(t ) + h 2(t ) = δ (t ) − exp( − ), t ≥ 0, (3.20)
                                                                      τ      τ
где h1(t ) = δ (t ), h 2(t ) = − exp( −t / τ ) / τ .

      ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЯ 3.4. Построим теперь гра-
фик импульсной характеристики анализируемой цепи, воспользовавшись
полученной формулой (3.20). Предварительно введем в компьютер дельта-
функцию, учитывая ее определение:
                            δ ( t) := if ( t 0 , ∞ , 0)
Далее, в соответствии с (3.20) вводим выражение для импульсной характери-
стики и выводим на экран график, иллюстрирующий поведение импульс-
ной характеристики цепи для двух значений постоянной времени цепи τ :


                                             37