Принятие решений в условиях нечеткой информации. Павлов А.Н - 53 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

53
ТЕОРЕМА
Уравнение (2.11) при условии, что 0 < g
< 1, n > 1, в интервале λ ∈ (–1,
∞) имеет ровно одно решение.
Доказательство. Для доказательства указанного утверждения не-
обходимо показать, что функция
1
1
(
λ) (1 λ ) 1 1
n
i
i
fg
=
⎡⎤
=+−−
∏
⎢⎥
λ
⎣⎦
при приведенных в теореме условиях обладает следующими свой-
ствами:
1)
λ–1
lim (λ)f
→
< 0
;
2)
lim (λ)f
λ→∞
> 0
;
3)
(λ) 0f
′
>
, т. е. функция строго возрастающая.
Покажем это:
1)
λ–1
1
lim (λ) (1 ) 0;
n
i
i
fg
→
=
=− − <
∏
2)
1
λ
2
lim (λ) lim ( (1 λ ) 1) .
n
i
i
fgg
→∞ λ→∞
=
=+−=∞> 0
∏
Докажем свойство 3.
1-й с л у ч а й: l > 0.
f(λ) = [(g
1
(1 + λg
2
)…(1 + λg
n
) + (1 + λg
1
)g
2
(1 + λg
3
) ... (1 + λg
n
) +
+ (1 + λg
1
)(1 + λg
2
)...(1 + λg
n–1
)g
n
–1)λ – (1 + λg
1
)...(1 + λg
n
) + 1 + λ]/λ
2
=
= [λg
1
(1 + λg
2
) ... (1 + λg
n
) + (1 + λg
1
)λg
2
( 1+ λg
3
)... (1 + λg
n
) +
+ (1 + λg
1
) ...(1 + λg
n–1
)λg
n
– (1 + λg
1
) ... (1 + λg
n
) + 1]/λ
2
= [Δ
1
+
+ Δ
2
+ ... +Δ
n-1
+ Δ
n
]/ λ
2
> 0 ,
где
Δ
I
= λg
i
(1 + λg
i+1
) ...(1 + λg
n
)[(1 + λg
1
)(1 + λg
2
)...(1 + λg
i–1
)–1] > 0,
i = 1,2, ..., n.
2-й с л у ч а й: l < 0.
Проведем доказательство методом индукции.

Страницы