Электромагнетизм. Электромагнитные колебания и волны. Першенков П.П - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

33
7. Свободные затухающие колебания
в колебательном контуре
Затуханием колебаний называется постепенное ослабление колебаний с
течением времени, обусловленное потерей энергии колебательной системы.
Свободные колебания реальных систем всегда затухают, т.к. реальный
контур обладает активным сопротивлением R отличным от нуля. Энергия за-
пасенная в контуре, постепенно расходуется в этом сопротивлении на нагре-
вание.
Уравнение затухающих колебаний можно получить исходя из
того, что
сумма падения напряжения на емкости
C
q
U
C
=
, на индуктивности
L
dI
UL
dt
=
и на сопротивлении U
R
= I·R колебательного контура равна нулю.
1
0
dI
LIRq
dt C
+
+= (7.1)
Дифференциальное уравнение затухающих колебаний в колебательном
контуре имеет вид:
2
2
1
0
dq Rdq
q
Ldt LC
dt
+
+=, (7.2)
или
2
2
0
2
20
dq dq
q
dt
dt
βω
+
+=, (7.3)
где β – коэффициент затухания колебательного
контура
При условии, что β
2
< ω
0
2
, т.е.
2
2
1
4
R
L
C
L
< ре-
шение уравнения (7.2) имеет вид
2
R
L
β
= . (7.4)
)
0
cos
t
m
qqe t
β
ω
ϕ
−
=+, (7.5)
где
22
0
ω
ωβ
=−, т.е.
2
2
1
4
R
LC
L
ω
=− (7.6)
Таким образом, частота затухающих колеба-
ний
ω меньше частоты собственных колебаний ω
0
.
При
R = 0 выражение (7.6) переходит в выра-
жение (6.3).
Напряжение на конденсаторе определяется по закону
)
0
cos
t
m
UUe t
β
ω
ϕ
−
=+, (7.7)
где
m
m
q
U
C
= .
Дифференцируя выражение (7.7) получим выражение для силы тока в
колебательном контуре: 
                       7. Свободные затухающие колебания
                             в колебательном контуре

     Затуханием колебаний называется постепенное ослабление колебаний с
течением времени, обусловленное потерей энергии колебательной системы.
     Свободные колебания реальных систем всегда затухают, т.к. реальный
контур обладает активным сопротивлением R отличным от нуля. Энергия за-
пасенная в контуре, постепенно расходуется в этом сопротивлении на нагре-
вание.
     Уравнение затухающих колебаний можно получить исходя из того, что
                                                  q                     dI
сумма падения напряжения на емкости U C = , на индуктивности U L = L
                                                  C                     dt
и на сопротивлении UR = I·R колебательного контура равна нулю.
                                 dI           1
                              L + IR + q = 0                          (7.1)
                                 dt          C
     Дифференциальное уравнение затухающих колебаний в колебательном
контуре имеет вид:
                             d 2 q R dq         1
                                   +         +      q = 0,            (7.2)
                             dt 2 L dt LC
     или
                             d 2q         dq
                                2
                                  + 2β        + ω0 2 q = 0 ,          (7.3)
                             dt           dt
где β – коэффициент затухания колебательного                     R
контура
                                                             β =    . (7.4)
                                                                 2L
                        2     2         R2       1
     При условии, что β < ω0 , т.е.        2
                                             <        ре-
                                       4 L LC
шение уравнения (7.2) имеет вид
                             q = qme − β t cos (ωt + ϕ0 ) ,           (7.5)
где ω = ω0 2 − β 2 , т.е.                                   1   R2
                                                     ω=       −       (7.6)
                                                           LC 4 L2
    Таким образом, частота затухающих колеба-
ний ω меньше частоты собственных колебаний ω0.
    При R = 0 выражение (7.6) переходит в выра-
жение (6.3).
    Напряжение на конденсаторе определяется по закону
                          U = U me − β t cos (ωt + ϕ0 ) ,      (7.7)
         q
где U m = m .
          C
    Дифференцируя выражение (7.7) получим выражение для силы тока в
колебательном контуре:


                                    33

Страницы