Механика. Першенков П.П - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

10
Направление n
r
выбирают так, чтобы последовательность векторов
a
r
, b
r
и n
r
образовывала правовинтовую систему: если смотреть вслед n
r
,
то поворот от a
r
к b
r
должен происходить по кратчайшему пути по часо-
вой стрелке (рис. 1.7).
Символически векторное произведение записывается как
ab
⎡⎤
⋅
⎣⎦
r
r
, или ab
×
r
r
; (1.6)
sinab ab n
⎡⎤
⋅=⋅⋅α⋅
⎣⎦
r
r
r
. (1.7)
Геометрический смысл: модуль векторного произведения
sin
ab⋅⋅ α
равен площади параллелограмма (рис. 1.8).
Рис. 1.7 Рис. 1.8
Существует еще смешанное произведение
abc
⎡
⎤
⋅
⎣
⎦
r
r
и двойное век-
торное произведение
.dabc
⎡⎤
⎡
⎤
=⋅⋅
⎣
⎦
⎣⎦
r
r
r
r
1.6 Проекция вектора на оси координат
Рассмотрим прямоугольную систему координат. В ней пользуются
единичными векторами ,,
x
yz
eee
rrr
или
,,,ijk
r
r
r
которые называются ортами.
Эти три вектора полностью определяют систему координат и называются
базисом координатной системы. Рассмотрим вектор на плоскости xy
(рис. 1.9).
На рисунке 1.9
,
xy
aa
−
проекции вектора
a
r
на оси координат. Про-
екция вектора есть величина алгебраическая. Если вектор образует с на-
правлением оси острый угол (α < 90°), то проекция положительна, если
α > 90°, то проекция отрицательна.
cos ,
sin ,
x
y
aa
aa
=⋅ α
⎧
⎨
=⋅ α
⎩
(1.8)
причем
22
x
y
aaa=+
. (1.9)
Вектор
a
r
можно представить через орты: 
                     r
    r Направление n выбирают так, чтобы последовательность векторов
 r      r                                                           r
a , b и n образовывала
                    r   правовинтовую систему: если смотреть вслед n ,
               r
то поворот от a к b должен происходить по кратчайшему пути по часо-
вой стрелке (рис. 1.7).
      Символически векторное произведение записывается как
                                r r            r r
                             ⎡ a ⋅ b ⎤ , или a × b ;             (1.6)
                             ⎣       ⎦
                            r r                       r
                          ⎡ a ⋅ b ⎤ = a ⋅ b ⋅ sin α ⋅ n .        (1.7)
                          ⎣       ⎦
         Геометрический смысл: модуль векторного                произведения
a ⋅ b ⋅ sin α равен площади параллелограмма (рис. 1.8).




             Рис. 1.7                              Рис. 1.8

                                             r r r
     Существует еще смешанное произведение a ⎡⎣b ⋅ c ⎤⎦ и двойное век-
                    r     r r r
торное произведение d = ⎡ a ⋅ ⎡⎣b ⋅ c ⎤⎦ ⎤ .
                        ⎣                ⎦

      1.6 Проекция вектора на оси координат
      Рассмотрим прямоугольную систему             координат. В ней пользуются
                          r r r          r r r
единичными векторами ex , e y , ez или i , j , k , которые называются ортами.
Эти три вектора полностью определяют систему координат и называются
базисом координатной системы. Рассмотрим вектор на плоскости xy
(рис. 1.9).
                                                       r
      На рисунке 1.9 ax , a y − проекции вектора a на оси координат. Про-
екция вектора есть величина алгебраическая. Если вектор образует с на-
правлением оси острый угол (α < 90°), то проекция положительна, если
α > 90°, то проекция отрицательна.
                                 ⎧ax = a ⋅ cos α,
                                 ⎨                                        (1.8)
                                 ⎩a y = a ⋅ sin α,
причем
                                a = ax2 + a y2 .                          (1.9)
             r
      Вектор a можно представить через орты:


                                      10

Страницы