Механика. Першенков П.П - 66 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

66
где
2
0
,
k
m
=ω
0
ω−
круговая частота собственных колебаний.
Следовательно, период собственных колебаний пружинного маят-
ника будет определяться выражением
2
T
π
=
ω
, или
2.
m
T
k
=π (8.7)
Запишем общий вид дифференциального уравнения гармонических
колебаний:
2
2
0
2
0
dx
x
dt
+ω =
.
Решением этого уравнения является функция
00
cos( ),xA t
=
ω+ϕ что
можно проверить подстановкой. График x(t) приведен на рисунке 8.3.
Математический маятник – материальная точка, подвешенная на
растяжимой и невесомой нити (рис. 8.4).
Рис. 8.3 Рис. 8.4
Момент силы, действующей на маятник равен,
sinMmg=−
ϕ
l .
Знак « – » указывает, что момент силы противоположен направле-
нию поворота. Так как угол ϕ мал, то sin
ϕϕ
и
M
mg
=
−
ϕ
l . Основное
уравнение динамики для вращающегося тела имеет вид
M
J
=
⋅ε
uur
.
Для математического маятника момент инерции
2
J
m= l
, а угловое
ускорение
2
2
.
d
dt
ϕ
ε=
Тогда как уравнение движения математического маят-
ника запишется
2
2
2
.
d
mg m
dt
ϕ
−ϕ=ll
    k
где   = ω02 , ω0 − круговая частота собственных колебаний.
    m
      Следовательно, период собственных колебаний пружинного маят-
ника будет определяться выражением
                                 2π              m
                            T=      , или T = 2π   .                (8.7)
                                 ω               k
     Запишем общий вид дифференциального уравнения гармонических
колебаний:
                                  d 2x
                                     2
                                       + ω02 x = 0 .
                                  dt
     Решением этого уравнения является функция x = A cos(ω0t + ϕ0 ), что
можно проверить подстановкой. График x(t) приведен на рисунке 8.3.
     Математический маятник – материальная точка, подвешенная на
растяжимой и невесомой нити (рис. 8.4).




                 Рис. 8.3                                Рис. 8.4

      Момент силы, действующей на маятник равен,
                                 M = − mg l sin ϕ .
     Знак « – » указывает, что момент силы противоположен направле-
нию поворота. Так как угол ϕ мал, то sin ϕ ϕ и M = −mg lϕ . Основное
уравнение динамики для вращающегося тела имеет вид
                               uur    r
                               M = J ⋅ε.
      Для математического маятника момент инерции J = ml 2 , а угловое
              d 2ϕ
ускорение ε = 2 . Тогда как уравнение движения математического маят-
              dt
ника запишется
                                                d 2ϕ
                             −mg lϕ = ml 2           .
                                                dt 2

                                         66

Страницы