Механика. Першенков П.П - 67 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

67
Перепишем это уравнение в следующем виде:
2
2
0.
dg
dt
ϕ
+ϕ
=
l
Мы получили дифференциальное уравнение второго порядка, реше-
нием которого является
max 0 0
cos( ),t
ϕ
=ϕ ω +ϕ
где частота собственных колебаний маятника
0
g
ω=
l
, т.е. период собст-
венных колебаний равен
2.T
g
=π
l
(8.8)
Выражение определено только для малых углов ϕ.
Физический маятник представляет со-
бой твердое тело, совершающее колебания под
действием силы тяжести вокруг неподвижной
горизонтальной оси, не проходящей через
центр масс (центр тяжести) тела (рис. 8.5). Ко-
лебания маятника, как и в случае математиче-
ского маятника, совершаются под действием
силы тяжести:
sinmg mg
ϕϕ
.
Если маятник отклонить на некоторый угол ϕ от положения равно-
весия, то на него будет действовать момент силы:
sin
M
mg=
ϕ
l
(или для малых углов
M
mg
=ϕ
l ), возвращающий его в исходное поло-
жение, где
l
– расстояние от точки подвеса О до центра тяжести маят-
ника – С.
Воспользовавшись основным уравнением динамики вращательного
движения
J=⋅ε
uur
r
, запишем уравнение колебаний физического маятника:
2
2
d
mg J
dt
ϕ
−ϕ=⋅l
или
2
2
0.
dmg
dt J
ϕ
+
⋅
ϕ
=
l
Решением этого уравнения является выражение вида
max 0 0
cos( ),t
ϕ
=ϕ ⋅ ω +ϕ
где
0
mg
J
ω= −
l
частота собственных колебаний маятника.
Рис. 8.5 
     Перепишем это уравнение в следующем виде:
                               d 2ϕ g
                                   + ϕ = 0.
                               dt 2 l
     Мы получили дифференциальное уравнение второго порядка, реше-
нием которого является
                          ϕ = ϕmax cos(ω0t + ϕ0 ),

                                                       g
где частота собственных колебаний маятника ω0 =          , т.е. период собст-
                                                       l
венных колебаний равен
                                           l
                                  T = 2π     .                          (8.8)
                                           g
      Выражение определено только для малых углов ϕ.
      Физический маятник представляет со-
бой твердое тело, совершающее колебания под
действием силы тяжести вокруг неподвижной
горизонтальной оси, не проходящей через
центр масс (центр тяжести) тела (рис. 8.5). Ко-
лебания маятника, как и в случае математиче-
ского маятника, совершаются под действием
силы тяжести:
                mg sin ϕ mg ϕ .                             Рис. 8.5
      Если маятник отклонить на некоторый угол ϕ от положения равно-
весия, то на него будет действовать момент силы:
                               M = mg sin ϕl
(или для малых углов M = mg ϕl ), возвращающий его в исходное поло-
жение, где l – расстояние от точки подвеса О до центра тяжести маят-
ника – С.
     Воспользовавшись
          uur            основным уравнением динамики вращательного
                 r
движения M = J ⋅ ε , запишем уравнение колебаний физического маятника:
                              d 2ϕ     d 2ϕ mg l
                  −mg ϕl = J ⋅ 2   или      +    ⋅ ϕ = 0.
                              dt       dt 2   J
     Решением этого уравнения является выражение вида
                          ϕ = ϕmax ⋅ cos(ω0t + ϕ0 ),

           mg l
где ω0 =        − частота собственных колебаний маятника.
            J

                                     67

Страницы