ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
70
Воспользовавшись уравнением второго закона Ньютона, можно по-
лучить:
2
2
dx dx
mkxr
dt dt
=− −
или
2
2
0.
dx dx
mrkx
dt dt
+
+=
Разделим последнее уравнение на m и введем обозначение
2
r
m
=
β
или
,
2
r
m
β=
где β − коэффициент затухания, тогда уравнение примет вид
2
2
0
2
20.
dx dx
x
dt dt
+
β
+ω =
(8.12)
Данное выражение и есть дифференциальное уравнение затухающих
колебаний. Решением этого уравнения является
0
cos( ).
t
xAe t
−β
=
ω+
ϕ
(8.13)
Отсюда следует экспоненциальный характер затухающих колеба-
ний, т.е. амплитуда колебаний убывает по экспоненциальному закону
(рис. 8.9):
0
() .
t
At A e
−
β
=
(8.14)
Рис. 8.8 Рис. 8.9
Относительное уменьшение амплитуды колебаний за период харак-
теризуется декрементом затухания, равным
0
0
()
()
t
T
tT
At A e
e
AT t A e e
−β
β
−β −β
==
+
(8.15)
или логарифмическим декрементом затухания:
()
ln .
()
At
T
AT t
=β
+
(8.16)
Воспользовавшись уравнением второго закона Ньютона, можно по- лучить: d 2x dx d 2x dx m 2 = − kx − r или m 2 + r + kx = 0. dt dt dt dt r Разделим последнее уравнение на m и введем обозначение = 2β m r или β = , где β − коэффициент затухания, тогда уравнение примет вид 2m d 2x dx 2 + 2β + ω02 x = 0. (8.12) dt dt Данное выражение и есть дифференциальное уравнение затухающих колебаний. Решением этого уравнения является x = Ae −βt cos(ωt + ϕ0 ). (8.13) Отсюда следует экспоненциальный характер затухающих колеба- ний, т.е. амплитуда колебаний убывает по экспоненциальному закону (рис. 8.9): A(t ) = A 0 e−βt . (8.14) Рис. 8.8 Рис. 8.9 Относительное уменьшение амплитуды колебаний за период харак- теризуется декрементом затухания, равным A(t ) A 0 e−βt = −βt −β T = eβ T (8.15) A(T + t ) A 0 e e или логарифмическим декрементом затухания: A(t ) ln = βT . (8.16) A(T + t ) 70
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 68
- 69
- 70
- 71
- 72
- …
- следующая ›
- последняя »