Механика. Першенков П.П - 70 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

70
Воспользовавшись уравнением второго закона Ньютона, можно по-
лучить:
2
2
dx dx
mkxr
dt dt
=− −
или
2
2
0.
dx dx
mrkx
dt dt
+
+=
Разделим последнее уравнение на m и введем обозначение
2
r
m
=
β
или
,
2
r
m
β=
где β − коэффициент затухания, тогда уравнение примет вид
2
2
0
2
20.
dx dx
x
dt dt
+
β
+ω =
(8.12)
Данное выражение и есть дифференциальное уравнение затухающих
колебаний. Решением этого уравнения является
0
cos( ).
t
xAe t
−β
=
ω+
ϕ
(8.13)
Отсюда следует экспоненциальный характер затухающих колеба-
ний, т.е. амплитуда колебаний убывает по экспоненциальному закону
(рис. 8.9):
0
() .
t
At A e
−
β
=
(8.14)
Рис. 8.8 Рис. 8.9
Относительное уменьшение амплитуды колебаний за период харак-
теризуется декрементом затухания, равным
0
0
()
()
t
T
tT
At A e
e
AT t A e e
−β
β
−β −β
==
+
(8.15)
или логарифмическим декрементом затухания:
()
ln .
()
At
T
AT t
=β
+
(8.16) 
     Воспользовавшись уравнением второго закона Ньютона, можно по-
лучить:
                  d 2x         dx    d 2x  dx
                 m 2 = − kx − r или m 2 + r + kx = 0.
                  dt           dt    dt    dt
                                                                     r
     Разделим последнее уравнение на m и введем обозначение            = 2β
                                                                     m
           r
или β =      , где β − коэффициент затухания, тогда уравнение примет вид
          2m
                              d 2x     dx
                                 2
                                   + 2β + ω02 x = 0.                  (8.12)
                              dt       dt
     Данное выражение и есть дифференциальное уравнение затухающих
колебаний. Решением этого уравнения является
                              x = Ae −βt cos(ωt + ϕ0 ).               (8.13)
      Отсюда следует экспоненциальный характер затухающих колеба-
ний, т.е. амплитуда колебаний убывает по экспоненциальному закону
(рис. 8.9):
                                   A(t ) = A 0 e−βt .                 (8.14)




                 Рис. 8.8                                 Рис. 8.9

     Относительное уменьшение амплитуды колебаний за период харак-
теризуется декрементом затухания, равным
                              A(t )     A 0 e−βt
                                     =     −βt −β T
                                                    = eβ T            (8.15)
                            A(T + t ) A 0 e e
или логарифмическим декрементом затухания:
                                        A(t )
                                 ln             = βT .                (8.16)
                                      A(T + t )


                                          70

Страницы