Механика. Першенков П.П - 72 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

72
2
2
0
0
2
2cos,
dx dx F
x
t
dt dt m
+β
+ω = ω
(8.20)
где ω − циклическая частота вынуждающей силы.
Это дифференциальное уравнение вынужденных колебаний. Реше-
ние его может быть записано в виде
cos( ).
x
At=ω−
ϕ
Уравнение описывает гармоническое колебание, происходящее с
частотой, равной частоте вынуждающей силы, отличающееся по фазе на ϕ
относительно колебаний силы.
Амплитуда вынужденного колебания:
0
222
00
()4
F
A
m
=
ω−ω +
β
ω
. (8.21)
Разность фаз между колебаниями силы и системы находится из вы-
ражения
2
00
2
tg
β
ω
ϕ=
ω
−ω
. (8.22)
График вынужденных колебаний показан на рисунке 8.11.
Рис. 8.11
При вынужденных колебаниях может наблюдаться такое явление,
как резонанс.
Резонанс – это резкое возрастание амплитуды колебаний
системы.
Определим условие, при котором наступает резонанс, для этого рас-
смотрим уравнение (8.21). Найдем условие, при котором амплитуда при-
нимает максимальное значение.
Из математики известно, что экстремум функции будет, когда про-
изводная равна нулю, т.е.
0.
A∂
=
∂ω
                      d 2x     dx        F
                         2
                           + 2β + ω02 x = 0 cos ωt ,            (8.20)
                      dt       dt        m
где ω − циклическая частота вынуждающей силы.
      Это дифференциальное уравнение вынужденных колебаний. Реше-
ние его может быть записано в виде
                            x = A cos(ωt − ϕ).
     Уравнение описывает гармоническое колебание, происходящее с
частотой, равной частоте вынуждающей силы, отличающееся по фазе на ϕ
относительно колебаний силы.
     Амплитуда вынужденного колебания:
                                        F0
                       A=                           .           (8.21)
                            m (ω02 − ω0 ) + 4β2ω2
     Разность фаз между колебаниями силы и системы находится из вы-
ражения
                                       2βω
                             tg ϕ =            .                (8.22)
                                      ω02 − ω0
     График вынужденных колебаний показан на рисунке 8.11.




                                Рис. 8.11

     При вынужденных колебаниях может наблюдаться такое явление,
как резонанс. Резонанс – это резкое возрастание амплитуды колебаний
системы.
     Определим условие, при котором наступает резонанс, для этого рас-
смотрим уравнение (8.21). Найдем условие, при котором амплитуда при-
нимает максимальное значение.
     Из математики известно, что экстремум функции будет, когда про-
изводная равна нулю, т.е.
                               ∂A
                                  = 0.
                               ∂ω
                                      72

Страницы