Механика. Першенков П.П - 78 стр.

ние двух гармонических колебаний одинакового направления и одинако-
вой частоты, но с различными начальными фазами и амплитудами:
                                x1 = A1 cos(ωt + ϕ1 ),
                               x2 = A2 cos(ωt + ϕ2 ).                   (9.1)
                                           Представим оба колебания на век-
                                      торной диаграмме и построим по прави-
                                      лам сложения
                                             ur     векторов результирующий
                                      вектор A (рис. 9.2).   ur
                                           Так как проекция A на ось х равна
                                      сумме проекций слагаемыхur    векторов,
                                      следовательно, вектор A представляет
                                      собой результирующее гармоническое
                                      колебание той же частоты ω, с амплиту-
                                      дой А и начальной фазой ϕ. Из построе-
            Рис. 9.2                  ния видно, что по теореме косинусов
                                      можно записать:
                   A2 = A12 + A22 − 2 A1 A2 ⋅ cos [ π − (ϕ2 − ϕ1 )] ,
или
                       A2 = A12 + A22 + 2 A1 A2 ⋅ cos(ϕ2 − ϕ1 ) ,       (9.2)
и
                                    A1 sin ϕ1 + A2 sin ϕ2
                           tg ϕ =                         .             (9.3)
                                    A1 cos ϕ1 + A2 cos ϕ2
      Итак, при сложении двух гармонических колебаний одинаковой час-
тоты, направленных по одной и той же прямой, результирующее движение –
также гармоническое колебание с той же частотой ω и с амплитудой А,
лежащей в пределах
                            ( A1 − A2 ) ≤ A ≤ ( A1 + A2 ).              (9.4)
      Если фазы обоих колебаний одинаковы ϕ2 = ϕ1 , то амплитуды коле-
баний просто складываются A = A1 + A2 .
     Если ϕ2 − ϕ1 = π , то колебания находятся в противофазе, и
A = A1 − A2 , в частности, если A1 = A2 , то A = 0 , т.е. оба колебания вза-
имно уничтожаются.
      Биениями называют периодические изменения амплитуды колеба-
ний, возникающие при сложении двух гармонических колебаний с близ-
кими частотами (рис. 9.3) (T – период биения).

                                          78