Сопротивление материалов. Першина С.В. - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

ходится в равновесии. Составим следующие уравнения равновесия:
()
(
)
(
)
090coscos =α−−−α+−=
∑
°
α
yyxx
TPTPPV ; (3.2)
()
(
)
(
)
090sinsin =α−−+α+−=
∑
°
α
yyxx
TPTPTU ; (3.3)
(
) ()
022
1
=+=
∑
dyTdxTM
xyO
. (3.4)
В уравнение (3.4) силы Р
x
, Р
y
, Р
α
, Т
α
не входят, так как линии их действия проходят через точку
O
1
(начало системы координат uv).
Подставив в уравнение (3.4) выражения Т
x
и Т
y
из равенств (3.1.), получим
(
)
(
)
022
1
=τ+τ=
∑
dydzdxdxdzdyM
xyO
,
откуда
xy
τ
−
=
τ
. (3.5)
Следовательно, касательные напряжения по двум взаимно перпендикулярным площадкам равны по
абсолютной величине и обратны по знаку. Эта связь между τ
x
и τ
y
называется законом парности каса-
тельных напряжений.
Из закона парности касательных напряжений следует, что в двух взаимно перпендикулярных пло-
щадках касательные напряжения направлены либо к линии пересечения этих площадок (рис. 3.3, а), ли-
бо от нее (рис. 3.3, б).
Рис. 3.3
Подставим в уравнения (3.2) и (3.3) выражения сил из равенств (3.1):
()
(
)
0sincos =ατ−σ−ατ+σ−σ=
∑
α
dzdydxdzdxdydzdsV
yyxx
;
()
(
)
0cossin =ατ−σ−ατ+σ−τ=
∑
α
dzdydxdzdxdydzdsU
yyxx
.
Сократим эти уравнения на ds dz, учитывая при этом, что (см. рис. 3.2, а):
()
α
=
sindsdx ;
(
)
α
=
cosdsdy ;
(
)
(
)
0sincossincossincos
=
α
α
τ
−
α
σ
−
α
α
τ+ασ
−
σ
α yyxx
.
(
)
(
)
0coscossinsinsincos
=
α
α
τ
−
α
σ
+
α
α
τ+ασ−τ
α yyxx
.
Теперь заменим τ
y
на – τ
х
[см. формулу (3.5)]:
ατ+ασ+ασ=σ
α
2sinsincos
22
xyx
; (3.6)
ατ−α
σ
−
σ
=τ
α
2cos2sin
2
x
yx
. (3.7)
Формулы (3.6) и (3.7) позволяют определять значения нормальных и касательных напряжений в
любых площадках, проходящих через данную точку, если известны напряжения σ
x
, σ
y
и τ
x
= –τ
y
в лю-
бых двух проходящих через нее взаимно перпендикулярных площадках.
Определим по формуле (3.6) сумму нормальных напряжений в двух взаимно перпендикулярных
площадках, для одной из которых угол α равен α
1
, а для другой α
1
+90°
а)
б)
90°
90°

Страницы