Сопротивление материалов. Першина С.В. - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

[
]
() () ()
[]
()
()
,cossin
902sin90sin90cos
2sinsincos
1
2
1
2
11
2
1
2
11
2
1
2
90
1
1
yxyx
xyx
xyx
σ+σ=α+ασ+σ=
=+ατ++ασ++ασ+
+ατ+ασ+ασ=σ+σ
°°°
+α
α
°
т.е.
const
21
=
σ
+
σ
=
σ
+
σ
αα yx
, (3.8)
т.е. сумма величин нормальных напряжений в двух взаимно перпендикулярных площадках есть величина
постоянная. Следовательно, если в одной из таких площадок нормальные напряжения имеют макси-
мальное значение, то в другой они имеют минимальное значение.
3.3 ГЛАВНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ. ГЛАВНЫЕ ПЛОЩАДКИ
При расчете инженерных конструкций нет необходимости определять напряжения во всех площад-
ках, проходящих через данную точку; достаточно знать экстремальные (т.е. максимальные и минималь-
ные) их значения.
Максимальные и минимальные нормальные напряжения называются главными напряжениями, а
площадки, по которым они действуют, – главными площадками.
Для определения величины главных напряжений и положений главных площадок приравниваем
нулю первую производную напряжения σ
α
по углу α [см. формулу (3.6)]:
ατ+αασ+αασ−=
α
σ
α
2cos2cossin2cossin2
xyx
d
d
или
()
02cos22sin
00
0
=ατ+ασ−σ−=
α
σ
α=α
α
xyx
d
d
. (3.9)
Здесь α
0
– углы наклона главных площадок к площадке, в которой действует напряжение σ
x
(см. рис.
3.2). Сравнивая последнее выражение с формулой (3.7), устанавливаем, что
02
0
0
=τ−=
α
σ
α
α=α
α
d
d
.
Следовательно, по главным площадкам касательные напряжения равны нулю. Поэтому главными пло-
щадками можно называть площадки, по которым касательные напряжения равны нулю.
Решим уравнение (3.9) относительно угла α
0
:
yx
x
σ−σ
τ
=α
2
2tg
0
, (3.10)
или на основании (3.5)
yx
y
σ−σ
τ
=α
2
2tg
0
. (3.11)
Формула (3.10) или (3.11) дает значения углов α
0
, определяющие две взаимно перпендикулярные
площадки. Следовательно, обе главные площадки взаимно перпендикулярны. Для определения их поло-
жений площадки, в которых действуют напряжения σ
x
и σ
y
, следует повернуть на угол α
0
против часо-
вой стрелки (при α
0
> 0) или по часовой стрелке (при α
0
< 0).
При любом значении tg2α
0
, полученном по формуле (3.10) или (3.11), можно установить соответст-
вующую величину угла 2α
0
, находящуюся в интервале от –90 до +90°, и, следовательно, значение α
0
от
–45 до +45°. Поэтому поворот площадок всегда можно произвести на угол, не больший 45°.
По одной из главных площадок действует максимальное напряжение σ
max
, а по другой – минималь-
ное напряжение σ
min
. При решении конкретной числовой задачи для определения величин σ
max
и σ
min
значения углов α
0
можно подставить в формулу (3.6). Решим эту же задачу в общем виде.
По формулам тригонометрии, используя выражение (3.10) и подставив полученные выражения в
формулу (3.6), после простых преобразований получим выражения экстремальных нормальных напря-
жений:

Страницы