Сопротивление материалов. Першина С.В. - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

()
2
2
min
max
4
2
1
2
xyx
yx
τ+σ−σ±
σ
+
σ
=σ
. (3.12)
Для определения положения главной площадки с напряжением σ
max
можно выполнить следующее:
площадку с большим (в алгебраическом смысле) нормальным напряжением повернуть на угол α
0
(по
абсолютной величине не больший 45°) в направлении, в котором вектор касательного напряжения, дей-
ствующего по этой же площадке, стремится вращать элементарный параллелепипед относительно его
центра.
После определения положения главной площадки с напряжением σ
max
легко находится перпендику-
лярная к ней вторая главная площадка с напряжением σ
min
. Такой прием позволяет приближенно опре-
делять положения главных площадок, не вычисляя значения α
0
, а используя то обстоятельство, что угол α
0
всегда можно взять по абсолютной величине не большим 45°. Примеры такого приближенного определения
даны на рис. 3.4, а, б.
Рис. 3.4
3.4 ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ КАСАТЕЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ
Определим площадки, по которым касательные напряжения имеют экстремальные (максимальные и
минимальные) значения; такие площадки условимся называть площадками сдвига. Для этого приравня-
ем нулю первую производную ατ
α
dd . На основании формулы (3.7)
(
)
ατ+ασ−σ=
α
τ
α
2sin22cos
xyx
d
d
,
или
()
11
2sin22cos
1
ατ+ασ−σ=
α
τ
α=α
α
xyx
d
d
,
откуда
x
yx
τ
σ−
σ
−=α
2
2tg
1
. (3.13)
Здесь α
1
– угол наклона площадки сдвига к площадке, по которой действует напряжение σ
x
. Если угол
α
1
положителен, то площадку, по которой действует напряжение σ
x
для совмещения с площадкой, по
которой действует экстремальное касательное напряжение, надо повернуть на этот угол против часо-
вой стрелки.
Формула (3.13) дает значения углов α
1
, определяющие две взаимно перпендикулярные площадки,
по одной из которых действует максимальное напряжение τ
mах
, а по другой – минимальное τ
min
. Из за-
кона парности касательных напряжений следует, что τ
max
= – τ
min
.
Сравнивая выражение (3.13) с выражением (3.10), устанавливаем, что
0
1
2tg
1
2tg
α
−=α
,
откуда
а)
б
)
800
σ
min
σ
min
σ
max
σ
max
α
0
200кгс
/
см
2
800
500
500
500
500
200
σ
min
σ
max
σ
max
α
0
σ
min
2000кгс
/
см
1000
500
500
500
2000
1000
500

Страницы