Сопротивление материалов. Першина С.В. - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Напряжение σ
1
является максимальным (σ
1
= σ
max
), а напряжение σ
3
– минимальным (σ
3
= σ
min
);
нормальные напряжения по любым площадкам, проходящим через данную точку, имеют промежуточ-
ные значения между σ
1
и σ
3
.
Закон парности касательных напряжений, доказанный выше для плоского напряженного состояния,
действителен и в случае пространственного напряженного состояния, однако в этом случае равны друг
другу по абсолютной величине не полные касательные напряжения, действующие по двум взаимно
перпендикулярным площадкам, а их составляющие, нормальные к линиям пересечения этих площадок
(рис. 3.6).
Выделим в окрестности точки, напряжения в которой изучаются, элементарный кубик с гранями,
параллельными главным площадкам (рис. 3.7).
Проведем через кубик площадку, параллельную напряжению σ
1
(на рис. 3.7 эта площадка заштри-
хована). Величины σ и τ нормальных и касательных напряжений, действующих по этой площадке, зави-
сят только от напряжений σ
2
и σ
3
и не зависят от напряжений σ
1
; поэтому для определения значений σ и
τ можно использовать формулы, применяемые при исследовании плоского напряженного состояния.
Рис. 3.6 Рис 3.7
Аналитически напряжения σ и τ в любой площадке определяются по формулам:
3
2
32
2
21
2
1
coscoscos ασ+ασ+ασ=σ ; (3.16)
2
3
22
32
22
211
22
1
coscoscos σ−ασ+ασ+ασ=τ . (3.17)
Здесь α
1
, α
2
и α
3
– углы между нормалью к рассматриваемой площадке и нормалями к главным пло-
щадкам.
Если по формуле (3.16) определить нормальные напряжения σ
x
, σ
y
и σ
z
по любым трем взаимно
перпендикулярным площадкам и сложить их значения, то сумма этих напряжений будет равна сумме
главных напряжений
321
σ+σ+
σ
=
σ
+
σ
+
σ
zyx
. (3.18)
Таким образом, сумма нормальных напряжений, действующих по любым трем взаимно перпенди-
кулярным площадкам, проходящим через рассматриваемую точку, есть постоянная величина.
Экстремальные касательные напряжения действуют по площадкам, параллельным главному напря-
жению σ
2
. Эти площадки наклонены к площадкам, по которым действуют главные напряжения σ
1
и σ
3
,
под углами в 45°. Значения экстремальных касательных напряжений
2
31
min
max
σ−σ
±=τ
.
При плоском и линейном напряженных состояниях главные напряжения часто обозначают так же,
как и при пространственном, т.е. σ
1
, σ
2
и σ
3
(где σ
1
≥ σ
2
≥ σ
3
). При этом в случае плоского напряженно-
го состояния одно из них, а в случае линейного – два из них равны нулю.
В зависимости от вида плоского напряженного состояния возможны следующие три случая:
а) оба не равных нулю главных напряжения положительны; в этом случае они обозначаются σ
1
и σ
2
(σ
1
≥ σ
2
), а σ
3
= 0;
б) оба не равных нулю главных напряжения отрицательны; в этом случае они обозначаются σ
2
и σ
3
(σ
2
≥ σ
3
), а σ
1
= 0;
τ
2
σ
1
σ
2
σ
1
σ
2
σ
3
σ
3
τ
1
τ
2
τ
2
τ
3
τ
3
τ
3
τ
3
τ
1
τ
1
τ
2
τ
1
τ
2
τ
2
τ
1
τ
3
τ
3
τ
3
τ
1
τ
1
τ
2

Страницы