Сопротивление материалов. Першина С.В. - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

в) не равные нулю главные напряжения имеют разные зна-
ки – одно из них является растягивающим, а другое – сжимающим. В этом случае растягивающее глав-
ное напряжение обозначается σ
1
, а сжимающее σ
3
; σ
2
= 0.
При одноосном растяжении не равно нулю только одно главное напряжение: σ
1
> 0: σ
2
= σ
3
= 0.
Аналогично при одноосном сжатии σ
3
< 0; σ
1
= σ
2
= 0.
3.6 ОБОБЩЕННЫЙ ЗАКОН ГУКА
Формулы относительных деформаций бруса, полученные выше для случая его центрального растя-
жения или сжатия, можно обобщить на случай трехосного (пространственного) напряженного состоя-
ния. Для этого выделим из тела элементарный параллелепипед (с бесконечно малыми размерами ребер),
грани которого совпадают с главными площадками (рис. 3.8).
Рис. 3.8
Обозначим σ
1
, σ
2
и σ
3
нормальные напряжения на главных площадках (т.е. главные напряжения), a
ε
1
, ε
2
и ε
3
– относительные деформации ребер параллелепипеда, параллельных этим напряжениям.
Значения ε
1
, ε
2
и ε
3
определим на основании принципа независимости действия сил, последователь-
но рассматривая влияние напряжений σ
1
, σ
2
и σ
3
.
В результате воздействия напряжений σ
1
относительные деформации равны [см. формулы (2.7) и
(2.10)]
E
1
11
σ
=ε
;
E
1
111312
σ
µ−=µε−=ε=ε
.
Первый индекс при ε указывает направление относительной деформации, а второй – причину де-
формации. Так, например, ε
21
является относительной деформацией в направлении напряжения σ
2
вы-
званной напряжением σ
1
.
Аналогично от воздействия напряжений σ
2
и σ
3
получаем
E
2
21
σ
µ−=ε
;
E
2
22
σ
=ε
;
E
2
23
σ
µ−=ε
;
E
3
3231
σ
µ−=ε=ε
;
E
3
33
σ
=ε
.
Относительные деформации, вызванные одновременным воздействием напряжений σ
1
, σ
2
и σ
3
, рав-
ны
3121111
ε
+
ε
+ε=ε ;
3222122
ε
+
ε
+
ε
=
ε
;
3323133
ε
+
ε
+
ε
=
ε
.
После замены относительных деформаций ε
11
, ε
12
и т.д. их выражениями последние формулы при-
мут вид
()
[]
()
[]
()
[]
σ+σµ−σ=ε
σ+σµ−σ=ε
σ+σµ−σ=ε
.
1
;
1
;
1
2133
3122
3211
E
E
E
(3.19)
Аналогичные формулы можно получить и для случаев, когда грани элементарного параллелепипеда
не совпадают с главными площадками (т.е. когда по этим граням, кроме нормальных напряжений, дей-
σ
1
σ
2
σ
3
σ
2
σ
1
σ
3

Страницы