Сопротивление материалов. Першина С.В. - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Здесь ∆(dV) – приращение объема элементарного параллелепипеда.
Так как величины ε
1
, ε
2
и ε
3
весьма малы, то их произведениями можно пренебречь. Тогда
(
)
(
)
321
1
ε
+
ε
+
ε
+
=
∆
+ dVdVdV ,
откуда
(
)
(
)
321
ε
+
ε
+
ε
=
∆ dVdV .
Отношение величины ∆(dV) к первоначальному объему параллелепипеда dV обозначается θ и назы-
вается относительным изменением объема:
(
)
321
ε+ε+ε=
∆
=θ
dV
dV
. (3.21)
Относительное изменение объема выражается в отвлеченных величинах (безразмерная величина).
Подставив в выражение (3.21) значения ε
1
, ε
2
и ε
3
по формулам (3.19), после преобразования получим
()
321
21
σ+σ+σ
µ−
=θ
E
. (3.22)
В формулу (3.22) входит сумма главных нормальных напряжений
321
σ+σ
+
σ
. Вместо этой суммы
сюда можно подставить сумму
zyx
σ+σ+σ [см. формулу (3.18)]:
(
)
zyx
E
σ+σ+σ
µ
−
=θ
21
. (3.23)
Правая часть формулы (3.23) равна сумме относительных деформаций ε
x
, ε
y
и ε
z
[это следует из вы-
ражений (3.20)]. Поэтому формулу (3.23) можно представить в виде
zyx
ε+
+
=
θ
. (3.24)
Зная относительное изменение объема тела в каждой его точке, можно вычислить объемную де-
формацию (т.е. изменение объема) всего тела:
∫
θ=∆
V
dVV
. (3.25)
В частном случае пространственного напряженного состояния, когда
σ
=σ=σ=σ
321
> 0 (такой
случай называется пространственным равномерным растяжением), на основании формулы (3.22) от-
носительное изменение объема
σ
µ−
=θ 3
21
E
. (3.26)
Совершенно очевидно, что объем кубика, находящегося в условиях пространственного равномер-
ного растяжения, не может уменьшаться, т.е. θ в этом случае не может быть отрицательным; следова-
тельно [на основании зависимости (3.26)], коэффициент Пуассона для любых материалов не может быть
больше 0,5.
Полученные здесь формулы действительны для напряжений, не превышающих предела пропорцио-
нальности материала.
3.8 ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ ДЕФОРМАЦИИ
Для определения потенциальной энергии деформации, накапливаемой в элементарной частице тела,
выделим из тела элементарный параллелепипед, ребра которого dl
1
, dl
2
и dl
3
, а грани совмещены с главными
площадками. В общем случае трехосного напряженного состояния на каждую грань параллелепипеда пер-
пендикулярно к ней действует внешняя сила, равная произведению нормального напряжения на площадь
этой грани (см. рис. 3.9).
На основании закона сохранения энергии потенциальная энергия деформации элементарного па-
раллелепипеда равна работе внешних сил, приложенных к его граням. При вычислении этой работы бу-
дем предполагать, что внешние силы (все одновременно) постепенно нарастают от нуля до своего ко-
нечного значения, т.е. эти силы действуют статически.
В результате действия на элементарный параллелепипед внешних сил его ребра dl
1
, dl
2
и dl
3
удли-
няются на следующие величины:
(
)
111
dldl
ε
=
∆
;
(
)
222
dldl
ε
=
∆
;
()
333
dldl ε=∆ . (3.27)

Страницы