Сопротивление материалов. Першина С.В. - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Работа dА внешних сил на этих удлинениях и равная ей потенциальная энергия dU определяются
выражением
(
)
(
)
(
)
222
321223121321
dldldldldldldldldl
dUdA
∆σ
+
∆σ
+
∆σ
==
,
где каждое из слагаемых в правой части равенства представляет собой работу статически нарастающей
силы (σ
1
dl
2
dl
3
или σ
2
dl
1
dl
3
, или σ
3
dl
1
dl
2
) на соответствующем (т.е. по направлению этой силы) удлине-
нии ребер параллелепипеда [∆(dl
1
) или ∆(dl
2
), или ∆(dl
3
)].
Подставляем в это выражение значения удлинений из (3.27):
()
332211
321
2
εσ+εσ+εσ=
dldldl
dU .
Разделив выражение dU на первоначальный объем параллелепипеда
321
dldldldV
=
, получим общее ко-
личество u потенциальной энергии, приходящееся на единицу объема тела, т.е. так называемую полную
удельную потенциальную энергию деформации:
2
332211
εσ+εσ+εσ
==
dV
dU
u
. (3.28)
Заменим в этой формуле относительные деформации их выражениями через напряжения [см.
обобщенный закон Гука – формулы (3.19)]:
()
[
]
323121
2
3
2
2
2
1
2
2
1
σσ+σσ+σσµ−σ+σ+σ=
E
u . (3.29)
Размерность удельной потенциальной энергии – кгс⋅см/см
3
(или кгс/см
2
), тс⋅м/м
3
(или тс/м
2
) и т.д.
Под действием внешних сил, приложенных к элементарному параллелепипеду, его объем изменяет-
ся на величину
dV
E
dVdV )(
21
)(
321
σ+σ+σ
µ−
=θ=∆
. (3.30)
Кроме того, изменяется и форма параллелепипеда, так как в результате того, что σ
1
≠ σ
2
≠ σ
3
, отно-
сительные удлинения ребер оказываются различными и, следовательно, первоначальное соотношение
между длинами ребер изменяется.
Установим, какие напряжения надо приложить к элементарному параллелепипеду для того, чтобы
его объем изменился на величину, определяемую формулой (3.30), а форма сохранилась прежней. Со-
хранение формы параллелепипеда возможно лишь при действии по всем его граням одинаковых напря-
жений (обозначим их σ
0
). При этом изменение объема параллелепипеда равно [см. формулу (3.30)]
dV
E
0
3
21
σ
µ−
.
Приравниваем его фактическому изменению, определяемому формулой (3.30):
()
dV
E
dV
E
3210
21
3
21
σ+σ+σ
µ−
=σ
µ−
,
откуда
3
321
0
σ+σ+σ
=σ
. (3.31)
Таким образом, рассматриваемое напряженное состояние параллелепипеда (рис. 3.10, а) можно
расчленить на два напряженных состояния. В первом из них (рис. 3.10, б) объем параллелепипеда изме-
няется, а форма его остается неизменной; потенциальная энергия, накопленная в этом состоянии, назы-
вается потенциальной энергией изменения объема.
Во втором состоянии (рис. 3.10, в) объем параллелепипеда не изменяется, а изменяется лишь его
форма; потенциальная энергия, накопленная в этом состоянии, называется потенциальной энергией из-
менения формы.

Страницы