Сопротивление материалов. Першина С.В. - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Рис. 3.10
Для того чтобы получить выражение удельной потенциальной энергии изменения объема, подста-
вим в формулу (3.29) напряжения
01
σ=σ
′
02
σ
=
σ
′
03
σ
=
σ
′
(рис. 3.10, б):
()
[]
2
321
2
0
000000
2
0
2
0
2
0об
3
3
2
21
3
2
21
2
2
1
σ+σ+σµ−
=σ
µ−
=
=σσ+σσ+σσµ−σ+σ+σ=
EE
E
u
или
()
2
321об
6
21
σ+σ+σ
µ−
=
E
u , (3.32)
или [на основании формулы (3.18)]
(
)
2
об
6
21
zyx
E
u σ+σ+σ
µ−
=
. (3.33)
Для того чтобы получить выражение удельной потенциальной энергии изменения формы, подста-
вим в правую часть формулы (3.29) напряжения
011
σ
−
σ
=
σ
′
′
;
022
σ
−
σ
=
σ
′
′
;
033
σ−σ=
σ
′
′
(рис. 3.12, в):
(
)( )
(
)
(
)
{
()()()()( )()
[]
}
.2
21
030203010201
2
03
2
02
2
01ф
σ−σσ−σ+σ−σσ−σ+σ−σσ−σµ−
−σ−σ+σ−σ+σ−σ= Eu
После преобразований и замены σ
0
выражением
3
321
σ+σ+σ
получаем
(
)
323121
2
3
2
2
2
1ф
3
1
σσ−σσ−σσ−σ+σ+σ
µ+
=
E
u
. (3.34)
Сумма удельных потенциальных энергий изменения объема и формы равна полной удельной по-
тенциальной энергии деформации, т.е.
uuu
=
+
фоб
. (3.35)
В этом можно убедиться, если в равенство (3.35) подставить выражения u
об
, u
ф
и и из формул (3.32),
(3.34) и (3.29). Следовательно, полную удельную потенциальную энергию деформации можно рассмат-
ривать состоящей из удельной потенциальной энергии изменения объема и удельной потенциальной
энергии изменения формы.
Зная удельную потенциальную энергию деформации в каждой точке упругого тела, можно вычис-
лить потенциальную энергию, накапливаемую во всем теле:
∑
∫
=
V
dVuU . (3.36)
Из формул (3.29), (3.32) и (3.34) легко получить выражения удельных потенциальных энергий для
случаев двухосного и одноосного напряженных состояний. Так, например, для двухосного напряженно-
го состояния, обозначив σ
3
главное напряжение, равное нулю, получим
(
)
()
()
σσ−σ+σ
µ+
=
σ+σ
µ−
=
σµσ−σ+σ=
.
3
1
;
6
21
;2
2
1
21
2
2
2
1ф
2
21об
21
2
2
2
1
E
u
E
u
E
u
(3.37)
в)
″
2
=
2
–
0
б)
а)
σ
1
σ
3
dl
1
dl
3
dl
2
σ
2
σ′
2
=σ
0
σ′
3
=σ
0
″
1
=
1
–
0
σ
′
1
=σ
0
σ″
3
=σ
3
-σ
0

Страницы