Сопротивление материалов. Першина С.В. - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

МЕНТАРНЫЙ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД С БОКОВЫМИ ГРАНЯМИ, НАХОДЯЩИМИСЯ ПОД ДЕЙ-
СТВИЕМ ОДНИХ ЛИШЬ КАСАТЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ.
Определим нормальные и касательные напряжения на площадке n – n, проходящей через точку 0 и
составляющей угол α с вертикальной исходной площадкой (рис. 4.1):
α
τ
=
σ
2sin
;
ατ−
=
τ
2cos
. (4.1)
Рис. 4.1
Из выражения видно, что касательные напряжения по абсолютной величине больше касательных
напряжений по любым другим площадкам, проходящим через точку 0 (так как соs2α при α ≠ 0 и α ≠
90° по абсолютной величине меньше единицы).
Следовательно, касательные напряжения τ, действующие по боковым граням рассматриваемого па-
раллелепипеда, являются экстремальными (τ
mаx
и τ
min
), а эти грани являются площадками сдвига и об-
разуют с главными площадками углы, равные 45°.
В случае плоского напряженного состояния рассматриваются только площадки, перпендикулярные
той плоскости, в которой нормальные и касательные напряжения равны нулю. Эту плоскость при изо-
бражении элементарного параллелепипеда (или призмы), находящегося в плоском напряженном со-
стоянии, обычно совмещают с плоскостью чертежа. Эти площадки сдвига отличаются от площадок
сдвига в общем случае напряженного состояния тем, что по ним не действуют нормальные напряжения.
В связи с этим их называют площадками чистого сдвига.
Из формулы (4.1) следует, что σ
α
при α = 45° имеет максимальное значение, равное
max
τ
=
τ
(так
как при этом 190sin2sin ==α
o
), а при
o
45−=α – минимальное значение, равное
max
τ−=τ− . Следователь-
но, при чистом сдвиге главные напряжения (т.е. экстремальные нормальные напряжения и экстремаль-
ные касательные напряжения) по абсолютной величине равны друг другу.
Подставим в выражение (4.1) значения углов α
1
и α
2
= α
1
+ 90°, соответствующие двум взаимно
перпендикулярным площадкам:
1
2sin
1
ατ=
σ
α
;
(
)
11
2sin1802sin
2
ατ−=+ατ=σ
α
o
;
21
αα
α
−
=
σ
.
Следовательно, при чистом сдвиге нормальные напряжения на любых двух взаимно перпендикуляр-
ных площадках равны друг другу по величине и противоположны по знаку. Поэтому чистым сдвигом
можно называть такое плоское напряженное состояние, при котором нормальные напряжения на
двух взаимно перпендикулярных площадках равны друг другу по величине и противоположны по знаку.
При чистом сдвиге полное напряжение р по любой площадке, определяемое выражением
22
αα
τ+σ ,
как это следует из формулы (4.1), равно по абсолютной величине напряжению τ
mаx
.
4.2 Деформации при сдвиге. Закон Гука при сдвиге
Напряженное состояние, изображенное на рис. 4.2, а представляет собой чистый сдвиг. В этом со-
стоянии длины ребер элементарного параллелепипеда не изменяются, а изменяются лишь углы между
боковыми гранями: первоначально прямые углы становятся равными 90° + γ и 90° – γ (рис. 4.2, б).
τ
τ
α
α
0
n
n

Страницы