Сопротивление материалов. Першина С.В. - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Возьмем новую систему координат y
1
x
1
, оси которой параллельны прежним. Обозначим а и b коор-
динаты точки 0
1
(т.е. нового начала координат) в старой системе координат y x. Рассмотрим элементар-
ную площадку dF. Координаты ее в старой системе координат равны у и x. В новой системе они равны
у
1
= у – а и x
1
= x– b.
Подставим эти значения координат в выражение осевого момента инерции относительно оси z
1
:
()
∫∫∫∫ ∫
+−=−==
FFFF F
x
dFaydFadFydFaydFyJ
22
2
2
1
2
1
.
В полученном выражении
∫
F
dFy
2
– момент инерции J
x
,
∫
F
dFy – статический момент S
x
сечения от-
носительно оси x,
∫
F
dF
равен площади F сечения. Следовательно,
FaaSJJ
xxx
2
2
1
+−= . (5.11)
Если ось z проходит через центр тяжести сечения, то статический момент S
z
= 0 и
FaJJ
xx
2
1
+= . (5.12)
Из формулы (5.12) видно, что момент инерции относительно любой оси, не проходящей через центр
тяжести, больше момента инерции относительно оси, проходящей через центр тяжести, на величину
а
2
F, которая всегда положительна. Следовательно, из всех моментов инерции относительно параллель-
ных осей осевой момент инерции имеет наименьшее значение относительно оси, проходящей через
центр тяжести сечения.
Момент инерции относительно оси у [по аналогии с формулой (5.11)]
FbbSJJ
yyy
2
2
1
+−= . (5.13)
В частном случае, когда ось у проходит через центр тяжести сечения,
FbJJ
yy
2
1
+= . (5.14)
Формулы (5.12) и (5.14) широко используются при вычислении осевых моментов инерции сложных
(составных) сечений.
Подставим теперь значения у
1
= у – а и x
1
= x – b в выражение центробежного момента инерции
относительно осей y
1
и x
1
:
(
)
(
)
.
11
11
∫∫∫∫
∫∫
+−−=
=−−==
FFFF
FF
xy
dFabxdFaydFbyxdF
dFbxaydFxyJ
В полученном выражении
yx
F
JyxdF =
∫
;
x
F
SydF =
∫
;
y
F
SxdF =
∫
и
FdF
F
=
∫
.
Следовательно,
abFbSaSJJ
xyyxxy
+
−
−
=
11
. (5.15)
В частном случае, когда начало старой системы координат уz находится в центре тяжести сечения,
0
=
=
xy
SS
и
abFJJ
yxxy
+
=
11
. (5.16)
Если сечение симметрично и одна из старых осей (или обе) совпадают с осью симметрии, то 0
=
yz
J
и выражение (5.16) принимает вид
abFJ
xy
=
11
. (5.17)
5.4 ИЗМЕНЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ ПРИ ПОВОРОТЕ ОСЕЙ

Страницы