Сопротивление материалов. Першина С.В. - 42 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

момента инерции не изменяется, если начало координат остается на месте, а координатные оси повора-
чиваются.
Определим теперь величину центробежного момента инерции относительно осей y
1
и x
1
:
(
)
(
)
()
∫∫∫
∫∫
α−α+
−αα=
=α+αα−α==
FFF
FF
xy
xdFydFxdFy
dFxyxydFxyJ
,sincoscossin
cossinsincos
2222
11
11
или
α+α
−
= 2cos2sin
2
11
xy
yx
xy
J
JJ
J . (5.21)
5.5 ГЛАВНЫЕ МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ.
ГЛАВНЫЕ ОСИ ИНЕРЦИИ
Формулы (5.18), (5.19) и (5.21) позволяют установить, как изменяются величины моментов инерции
сечения при повороте осей на произвольный угол α. Для некоторых значений угла α. величины осевых
моментов инерции достигают максимума и минимума. Экстремальные (максимальные и минимальные)
значения осевых моментов инерции сечения называются главными моментами инерции. Оси, относи-
тельно которых осевые моменты инерции имеют экстремальные значения, называются главными осями
инерции.
Из формулы (5.20) следует, что если осевой момент инерции относительно некоторой оси является
максимальным (т.е. эта ось главная), то осевой момент инерции относительно перпендикулярной к ней
оси является минимальным (т.е. эта ось также главная), так как сумма осевых моментов инерции отно-
сительно двух взаимно перпендикулярных осей не зависит от угла α.
Таким образом, главные оси инерции взаимно перпендикулярны.
Для нахождения главных моментов инерции и положения главных осей инерции определим первую
производную по углу α от момента инерции J
x
[см. формулу (5.18) и рис. 5.5]:
()
.2cos2cossin2cossin2
2sinsincos
22
1
α−αα+αα−=
=α−α+α
α
=
α
xyyx
xyyx
x
JJJ
JJJ
d
d
d
dJ
Приравниваем этот результат нулю:
()
02cos22sin
00
0
1
=α−α−−=
α
α=α
xyyx
x
JJJ
d
dJ
, (5.22)
где α
0
– угол, на который надо повернуть координатные оси у и x, чтобы они совпали с главными осями.
Сравнивая выражения (5.22) и (5.21), устанавливаем, что
()
02
0
11
0
1
=−=
α
α=α
α=α
xy
x
J
d
dJ
,
т.е.
(
)
0
0
11
=
α=α
xy
J .
Следовательно, относительно главных осей инерции центробежный момент инерции равен нулю.
Поэтому главными осями инерции можно называть оси, относительно которых центробежный момент
инерции равен нулю.
Как уже известно, центробежный момент инерции сечения относительно осей, из которых одна или
обе совпадают с осями симметрии, равен нулю.
Следовательно, взаимно перпендикулярные оси, из которых одна или обе совпадают с осями сим-
метрии сечения, всегда являются главными осями инерции. Это правило позволяет во многих случаях
непосредственно (без расчета) устанавливать положение главных осей.
Решим уравнение (5.22) относительно угла α
0
:

Страницы