Сопротивление материалов. Першина С.В. - 43 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

yx
xy
JJ
J
−
−=α
2
2tg
0
. (5.23)
Уравнению (5.23) в каждом конкретном случае удовлетворяет ряд значении α
0
. Из них выбирается
одно любое. Если оно положительно, то для определения по нему положения одной из главных осей
инерции ось x следует повернуть на угол α
0
против вращения часовой стрелки, а если отрицательное –
то по вращению часовой стрелки; другая главная ось инерции перпендикулярна к первой. Одна из глав-
ных осей инерции является осью максимум (относительно нее осевой момент инерции сечения макси-
мален), а другая – осью минимум (относительно нее осевой момент инерции сечения минимален).
Ось максимум всегда составляет меньший угол с той из осей (у или x), относительно которой осе-
вой момент инерции имеет большее значение. Это обстоятельство позволяет легко устанавливать, какая
из главных осей инерции является осью максимум, а какая – осью минимум. Так, например, если J
y
> J
x
,
а главные оси инерции и и v расположены, как это показано на рис. 5.6, то ось и является осью макси-
мум (так как образует с осью у меньший угол, чем с осью x), а ось v – осью минимум.
При решении конкретной числовой задачи для определения главных моментов инерции J
max
и J
min
можно выбранное значение угла α
0
и значение
o
90
00
+α=α
′
подставить в формулу (5.18) или (5.19).
Рис. 5.6
Подставив эти выражения в формулу (5.18), после простых преобразований получим
()
2
2
min
max
4
2
1
2
xyxy
xy
JJJ
JJ
J +−±
+
= . (5.24)
Главные оси инерции можно провести через любую точку, взятую в плоскости сечения. Однако
практическое значение для расчетов элементов конструкции имеют лишь главные оси, проходящие че-
рез центр тяжести сечения, т.е. главные центральные оcu инерции. Моменты инерции относительно этих
осей (главные центральные моменты инерции) в дальнейшем будем обозначать J
max
и J
min
.
Рассмотрим несколько частных случаев.
1 Если
xy
JJ = и 0=
yx
J , то формула (5.21) дает значение центробежного момента инерции отно-
сительно любой пары взаимно перпендикулярных осей, равное нулю, и, следовательно, любые оси, по-
лученные путем поворота системы координат уz, являются главными осями инерции (также как оси у и
x). В этом случае
const
minmax
=
=
=
= JJJJ
xy
.
2 Для фигур, имеющих более двух осей симметрии, осевые моменты инерции относительно всех
центральных осей равны между собой. Действительно, направим одну из осей (y или x) по одной из
осей симметрии, а другую – перпендикулярно к ней. Для этих осей 0
=
yx
J . Если фигура имеет более
двух осей симметрии, то какая-либо из них составляет острый угол с осью x. Обозначим такую ось x
1
, а
перпендикулярную к ней ось y
1
.
Центробежный момент инерции
0
11
=
xy
J , так как ось x
1
является осью симметрии. По формуле же
(5.21):
02cos2sin
2
11
=α+α
−
=
xy
yx
xy
J
JJ
J ,
но так как 0=
yx
J , то
yx
JJ = .
Тогда в соответствии с рассмотренным выше случаем момент инерции относительно любой оси
имеет одно и то же значение и любые оси, полученные путем поворота системы координат уx, являются
главными осями инерции. Отсюда следует, что для всех правильных фигур (равностороннего треуголь-
v
x
y
u
J
y
> J
x
Ось минимум
Ось максимум

Страницы